Mathematical Engineering - Elettrotecnica

Risoluzione dei circuiti del II ordine

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RISOLUZIONE DEI CIRCUITI DEL II ORDINE 1 - La variabile x(t) da determinare sia una variabile di stato (tensione su un condensatore vC(t) oppure corrente in un induttore iL(t). [vedi Nota la punto 5 nel caso in cui x(t) NON sia una variabile di stato] 2 – La soluzione x(t) di un circuito STABILE (parte reale delle frequenze naturali s1 e s2 ≤ 0) può assumere una delle seguenti espressioni in funzione dei valori di s1 e s2 : - Caso A (sovrasmorzato) quando s1 e s2 sono reali negative distinte - Caso B (smorzamento critico) quando s1 e s2 = s sono reali negative coincidenti - Caso C (sottosmorzato) quando s1 e s2 sono complesse coniugate α ± jβ (con α < 0) - Caso D (senza perdite) quando s1 e s2 sono immaginarie pure ±jβ (α = 0) 3 – Per determinare s1 e s2 : - scrivere le equazioni di stato - dalla matrice A calcolare 2α = - tr A e ω02 = det A - dal polinomio caratteristico s2 + 2α s + ω02 =0 ricavare s1 e s2 4 – Calcolare dal circuito x(∞) ponendo i condensatori in circuito aperto e gli induttori in corto circuito. 5 – Determinare K1 e K2 (oppure A e B) imponendo le condizioni iniziali a t = 0+ (essendo x una variabile di stato è continua in t = 0 cioè x(0-) = x(0+): x(0) è noto o ottenibile dal regime per t = 0- da una delle due equazioni di stato ponendo t = 0+ Nota: se x(t) non è una variabile di stato è necessario esprimere in questo punto x in funzione delle variabili di stato (ed eventualmente dei generatori)