Mathematical Engineering - Matematica Numerica

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MATEMATICA NUMERICAPRIMO APPELLOFirma leggibile dello studente CDL Ingegneria Matematica26 Giugno 2018 Prof. Alo QuarteroniDurata : 2h30' NomeCognomeMatricola Spazio riservato al docente Esercizio 1Esercizio 2Esercizio 3Esercizio 4Totale ....... / 27....... / 22....... / 24....... / 27....... / 100 ISTRUZIONI PER IL CORRETTO SVOLGIMENTO DELLA PROVA ?Tutti i calcoli e i risultati, graci inclusi, devono essere riportati su questo documento, che verrà restituito al docente ; si riportino i passaggi dei calcoli e le opportune giusticazioni dei risultati ottenuti. ?Tutti i comandi MATLAB usati per risolvere gli esercizi devono essere completamente riportati su questo documento ; quesiti la cui risposta contenga solo il risultato nale o il graco, giusticazioni o calcoli incompleti, verranno ritenuti scorretti. ?Scrivete usando una penna blu o nera, e non a matita. ?I fogli di brutta copia forniti durante l'esame non verranno considerati durante la correzione. ?E' vietato l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico durante l'esame. L'unico software consentito durante l'esame è MATLAB. ?E' consentito consultare un foglio fronte-retro in formato A4 manoscritto durante l'esame ; non è possibile consultare fotocopie, copie degli esercizi risolti durante il corso, appunti e altro materiale scritto. ?Le funzioni MATLAB richieste durante l'esame si trovano nella cartellaExtraFilesdisponibile sul computer assegnato.1 Esercizio 1 SiaA2Rn n simmetrica e denita positiva eb2Rn . a)Denire il metodo del gradiente per risolvere il sistemaAx=b, motivando la scelta della direzione di discesa. b)Dimostrare che il parametro di accelerazione kcorrisponde alla soluzione del problema di minimiz- zazione seguente(x( k) + kr( k) ) = min 2R( x( k) +r( k) ); dover( k) è il residuo al passoke dove (x) =12 x T AxxT b rappresenta il funzionale energia associato al sistema. c)Dimostrare inoltre che si ha la relazione di ortogonalità(r( k+1) ;r( k) ) = 0,k0. d)Sapreste spiegare, anche alla luce dei punti precedenti, per quale motivo il metodo del gradienteconiugato permette di ottenere migliori prestazioni numeriche rispetto al metodo del gradiente ? e)Si consideri il sistemaAx=bdove la matriceAed il temine notobsi ottengono con i seguenti comandi, A=gallery('poisson',20); b=ones(size(A,1),1); La matriceA2R400 400 è simmetrica e denita positiva con struttura sparsa. Calcolare il numero di condizionamento diAe risolvere il sistemaAx=btramite il metodo del gradiente coniugato, utilizzando il comandopcgdi Matlab. Riportare il numero di iterazioni necessarie per approssimare la soluzione del sistema con una tolleranza pari a10 6 partendo dal vettore nullo come punto iniziale (default per il comandopcg). f )Costruire algebricamente il sistema con precondizionatore centratoA x =b , doveA =^ H T A^ H 1 , b =^ H T b,x =^ Hx. La matrice^ Hè la matrice triangolare superiore ottenuta tramite la fattoriz- zazione di Cholesky incompleta (senza ll-in) della matriceA, calcolata tramite il seguente comando, H=ichol(A)'. Calcolare il numero di condizionamento associato al sistema precondizionato e risolvere tale sistema con il metodo del gradiente coniugato. Riportare inne il numero di iterazioni necessarie per approssimare la soluzione del sistema con una tolleranza pari a10 6 partendo dal vettore nullo come punto iniziale. Confrontare il risultato con il caso non precondizionato e commentare il risultato alla luce della teoria.2 3 4 5 Esercizio 2 Si consideri una funzionef(x)2C1 (I), conI= [a; b]R. a)Scrivere l'espressione del polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di gradondella funzionef(x) inn+ 1nodi distintia=x 0< x 1: : : < x n= bsull'intervalloI, introducendo la base dei polinomi caratteristicif k( x)gn k=0. Illustrare brevemente come determinare i coecienti del polinomio  nf (x). b)Sia oraf(x) =e2 x conI= [1;1]. UsandoMatlabfornire l'espressione del polinomio interpolante di Lagrange di gradon= 3della funzionef(x)considerando un insieme di nodi equispaziati sull'intervallo Ie precisando il loro valore. Tracciare il graco della funzione di errore Enf (x) :=f(x) nf (x) perx2Ie calcolare l'errore en( f) := max x2Ij E nf (x)j pern= 3. c)Sapendo chedm fdx m( x) = 2m e2 x ; m= 0;1; : : : stimare teoricamente (senza calcolare l'errore) il minimo gradon minper il quale l'errore e nmin( f) associato al polinomio interpolante di Lagrange nminf (x)è minore ditol= 10 3 . d)Come si denisce il polinomiof m( x)di gradom= 2approssimanten+ 1 = 100coppie di dati f(x i; f (x i)) gn i=0nel senso dei minimi quadrati ? e)UsandoMatlabfornire l'espressione di tale polinomio considerando un insieme di 100 nodi equispaziati sull'intervalloI. Usando un insieme di 1000 nodi equispaziati sull'intervalloI, si tracci inne il graco della funzione di errore Emqf (x) :=f(x)f m( x) perx2Ie si calcoli l'errore emq( f) := max x2Ij E mqf (x)j perm= 2.6 7 8 9 Esercizio 3 Si consideri la funzione f(x) =e x (x2 2) ; 2N;  >0: a)Si discuta la molteplicità della radice=p2 al variare del parametro. b)Per= 1e= 2si riportino i graci della funzionef(x)e della sua derivata sull'intervallo[0;10]. Si riportino i comandi Matlab utilizzati. c)Si intende approssimare la radiceusando il metodo di bisezione. Descrivere tale metodo per la ricerca di uno zero di una funzionef, precisando le ipotesi che tale funzione deve soddisfare. Quando tale metodo risulta convergente ? Fornire una sintetica motivazione. d)Posto ora= 1, si consideri l'intervallo I= [0;2]e la funzionef(x)denita sopra. Data una tolleranza tolsul criterio di arresto, stimare il numero minimok mindi iterazioni necessarie ad arrestare il metodo di bisezione garantendo chee( k min) < tol, dovee( k) =jx( k) j. e)Si verichi il risultato ottenuto al punto d) usando la funzioneqssbisez.m, e usando come tolleranza tol = 1e-6e numero massimo di iterazionikmax = 100. f )Si ponga ora= 2. Utilizzando il metodo di Newton (funzioneMatlab newton.mfornita) conx0 =0, nmax=100,tol=1e-6si approssimi la radice=p2 . Si riportino i comandiMatlabutilizzati, il valore approssimato della radice ed il numero di iterazioni eettuate. Inne, si stimi (algebricamente o gracamente) l'ordine di convergenza e lo si commenti alla luce della discussione del punto 1.10 11 12 13 Esercizio 4 Si vuole cercare il metodo multistep lineare esplicito ap+ 1 = 2passi di ordine massimo. Per fare ciò, si considera la famiglia di metodi seguente, un+1= u n+ (1 )u n1+ h[ f n+ f n1] ;(1) ove; e sono parametri reali. a)Si trovino i valori di; e che rendono il metodo consistente e ne massimizzano l'ordine. b)Per i valori trovati, si mostri che il metodo trovato non è zero-stabile.c)Provare che la condizione di zero-stabilità dei metodi (1) è2[0;2). Determinare le espressioni di e in funzione di2[0;2)alle quali corrisponde il metodo, che chiameremoM(), di ordine più alto. Si riconoscano inoltre metodi noti nei casi= 0e= 1. d)Si consideri il seguente problema di Cauchy,y0 (x) = (y(x)1)2 ; x2(0;10) y(0) = 2; la cui soluzione esatta èy(x) = 11=(x+ 1). Utilizzando la funzioneMatlab qssmultistep, vericare che il metodoM(= 1:5)ha l'ordine di convergenza atteso, calcolando perh= [2 6 ;2 7 ;2 8 ]l'errore di approssimazioneEh= max n=1;:::;N hj u n y(x n) j; dovex n= nheN h= 10 =h. Per semplicità, si utilizzi la soluzione esatta per fornire i valori iniziali al metodo multistep. e)Per= 1e= 1:5, si traccino mediante il comandoqssstabregle regioni di assoluta stabilità dei metodiM()corrispondenti, commentando i risultati. Alla luce di questi ultimi, a quale dei due valori = 1e= 1:5corrisponde la condizione di stabilità meno restrittiva ?14 15 16 17 18