Mathematical Engineering - Matematica Numerica

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MATEMATICA NUMERICAPRIMO APPELLOFirma leggibile dello studente CDL Ingegneria Matematica25 Giugno 2019 Prof. Alo QuarteroniDurata : 2h30' NomeCognomeMatricola Spazio riservato al docente Esercizio 1Esercizio 2Esercizio 3Esercizio 4Totale ....... / 30....... / 20....... / 30....... / 20....... / 100 ISTRUZIONI PER IL CORRETTO SVOLGIMENTO DELLA PROVA ?Tutti i calcoli e i risultati, graci inclusi, devono essere riportati su questo documento, che verrà resti- tuito al docente ; si riportino i passaggi dei calcoli e le opportune giusticazioni dei risultati ottenuti. ?Solo quando espressamente richiesto nel testo dell'esercizio, riportare su questo documento tutti i co- mandi MATLAB usati. ?Si scriva usando una penna blu o nera, e non a matita. ?I fogli di brutta copia forniti durante l'esame non verranno considerati durante la correzione. ?E' vietato l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico durante l'esame. L'unico software consentito durante l'esame è MATLAB. ?E' consentito consultare un foglio fronte-retro in formato A4 manoscritto durante l'esame ; non è pos- sibile consultare fotocopie, copie degli esercizi risolti durante il corso, appunti e altro materiale scritto. ?Per evitare la perdita di dati, congurare il percorso di lavoro di MATLAB seguente : Computer/Local Disk (C:)/Users/USER_LEO/Desktop ?Per avere accesso alle funzioni MATLAB richieste durante l'esame, digitare addpath('M:/MATLAB/Toolbox/MatNum250619') nella Command Window di MATLAB.1 Esercizio 1 Si consideri il sistema lineareAx=b, dove A=0 B B @ 0 0 1 00 0 0 0  1 0 1 C C A; b=0 B B @ + 1  + 1 ++1 C C A: (1) a)Si determini l'insieme delle coppie di valori(; )2R2 sucienti a garantire che il metodo del gradiente (ovvero Richardson dinamico, con scelta ottimale del parametro di accelerazione) converge. Sia d'ora in avanti= 2,= 1. b)Si consideri il seguente metodo iterativo per approssimare la soluzione del sistema lineareAx=b: datox(0) 2R4 , x( k+1) =x( k) +(b!Ax( k) ): Per quali valori di!tale metodo risulta consistente ? Determinare inoltre per quali valori diil metodo risulta convergente. In corrispondenza di tali valori di!, determinare il valore di2Rper il quale la velocità di convergenza del metodo risulta essere la più elevata. c)Si considerino il metodo del gradiente e il metodo del gradiente coniugato (non precondizionati) perapprossimare la soluzione del sistema lineareAx=b. Fornire una stima del numero di iterazioni richieste da ciascuno di tali metodi per averekx( k) xk A 10 9 kx(0) xk A, con x(0) =0. Cosa si può osservare ? d)Si dimostri che, per il metodo del gradiente, il parametro di accelerazione ottimale è k=r ( k)T r( k)r ( k)T Ar( k); dover( k) =bAx( k) . e)Utilizzando la funzione MATLABrichardsone il comando MATLABpcg, risolvere il sistema lineare Ax=bcon i metodi del gradiente e del gradiente coniugato, in assenza di precondizionamento, sce- gliendox(0) =0,tol= 10 9 ,n max= 100 . In ambo i casi, si riportino le soluzioni ottenute e il numero di iterazioni eettuate.2 3 4 Esercizio 2 Siaa2R,a >0, e si considerino le funzioni 1( x) =12  x+ax  ; 2( x) =12 x 3x 2a  : a)Trovare i punti ssi comuni a entrambe le funzioni 1e  2. b)Vericare teoricamente che i metodi delle iterazioni di punto sso x( k+1) = 1( x( k) ); k0; x( k+1) = 2( x( k) ); k0 convergono localmente al punto ssodi ascissa positiva, e stabilire, senza l'ausilio di MATLAB, l'ordine di convergenza di entrambi i metodi ; si scelga in entrambi i casix(0) >0sucientemente vicino ad. c)Determinare teoricamente se esistono due valori 1;  22 Rin modo tale che la funzione di iterazione (x) = 1 1( x) + 2 2( x) ammettacome punto sso e tale che il metodo delle iterazioni di punto ssox( k+1) = (x( k) ); k0, converga localmente adalmeno con ordine 3. d)Sia ancoraa= 3. Mediante la funzione MATLABfixed_point_iterationdeterminare il valore di e il numero di iterazionin iteettuate dal metodo delle iterazioni di punto sso a partire da x(0) = 1, contol= 10 9 ,n max= 50 , nei tre casi : 1 2 1 1 n it5 6 7 Esercizio 3 Si consideri il seguente problema di Cauchy : (y0 (t) =f(t; y(t)); t2(0;5]; y(0) = 0;(2) dovef(t; y) =11+ t2 2y2 . Introdotta una partizione di passohsull'intervallo[0;5], si consideri il seguente metodo multistep : Datiu 0; u 1; u 2; un+1= u n+h12 (23 f n 16f n1+ 5 f n2) ;8n= 2;3; : : : ; 5h  ;(MS) doveu nrappresenta un'approssimazione della soluzione esatta yall'istantet n= nh,f n= f(t n; u n) edxe rappresenta la parte intera del numero realex. a)Si caratterizzi il metodo (MS), determinando il suo numero di passi e se sia esplicito o implicito. Èpossibile includere tale metodo in una delle famiglie studiate durante il corso ? b)Si studino consistenza, ordine e zero-stabilità del metodo (MS).c)Utilizzando la funzione MATLABqssmultistep.mfornita, si applichi il metodo (MS) alla risoluzione del problema (2), usando un passoh= 0:1. Per l'inizializzazione del metodo si utilizzino i valori della soluzione esatta y(t) =t1 + t2: In altre parole, siau n= y(t n) pern= 0;1;2. Si riportino il graco della soluzione ottenuta, indicando i valori mostrati a schermo sugli assi, e il valore dell'errore ju 50 y(t 50) j all'istante nale. d)Per un metodo multistep generale, si illustrino le relazioni fra convergenza, consistenza, zero-stabilità,assoluta stabilità.8 9 10 Esercizio 4 NB:SicopinoilemainPolifem.medataPolifem.mnellacartelladilavorolocaleesimodichino lecopie. Si consideri il seguente problema di diusione e reazione, dipendente da un parametro 2R: ((0:25x2 u0 (x))0 + u(x) =f(x);0< x