Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Full exam

MATEMATICA NUMERICATERZO APPELLOFirma leggibile dello studente CDL Ingegneria Matematica3 Settembre 2018 Prof. Alo QuarteroniDurata : 2h30' NomeCognomeMatricola Spazio riservato al docente Esercizio 1Esercizio 2Esercizio 3Esercizio 4Totale ....... / 30....... / 23....... / 21....... / 26....... / 100 ISTRUZIONI PER IL CORRETTO SVOLGIMENTO DELLA PROVA ?Tutti i calcoli e i risultati, graci inclusi, devono essere riportati su questo documento, che verrà restituito al docente ; si riportino i passaggi dei calcoli e le opportune giusticazioni dei risultati ottenuti. ?Tutti i comandi MATLAB usati per risolvere gli esercizi devono essere completamente riportati su questo documento ; quesiti la cui risposta contenga solo il risultato nale o il graco, giusticazioni o calcoli incompleti, verranno ritenuti scorretti. ?Scrivete usando una penna blu o nera, e non a matita. ?I fogli di brutta copia forniti durante l'esame non verranno considerati durante la correzione. ?E' vietato l'uso di qualsiasi dispositivo elettronico durante l'esame. L'unico software consentito durante l'esame è MATLAB. ?E' consentito consultare un foglio fronte-retro in formato A4 manoscritto durante l'esame ; non è possibile consultare fotocopie, copie degli esercizi risolti durante il corso, appunti e altro materiale scritto. ?Per evitare la perdita di dati, congurare il percorso di lavoro di MATLAB seguente : Computer/Local Disk (C:)/Desktop/USER_DATA ?Per avere accesso alle funzioni MATLAB richieste durante l'esame, digitare addpath('M:/MATLAB/Toolbox/Manzoni') nella Command Window di MATLAB.1 Esercizio 1 Si consideri il sistema lineareAx=bcon A=0 @  0  0 0 0 1 A; ;  ; >0:(1) Si deniscano le matriciD,EeFrispettivamente come la parte diagonale, la parte triangolare inferiore e la parte triangolare superiore diA, in modo cheA=DEF. a)Determinare a mano la fattorizzazione LU della matriceAutilizzando il metodo di eliminazione di Gauss. Riportare le matriciLeUottenute. b)Discutere la convergenza del metodo iterativo di Gauss-Seidel in funzione di,e utilizzando il raggio spettrale della matrice di iterazioneB GS. c)Si consideri ora il metodo iterativo seguente : datox(0) , perk0, (DF)x( k+1=2) =Ex( k) +b (DE)x( k+1) =Fx( k+1=2) +b: (2) Dopo aver scritto tale metodo nella formax( k+1) =Bx( k) +e b; conBee bdeniti opportunamente, studiare la sua convergenza in funzione di,e . Confrontare il raggio spettrale della matrice di iterazioneBcon quello della matrice di iterazioneB GSdel metodo di Gauss-Seidel considerato al punto precedente. d)Denire il metodo di Richardson stazionario precondizionato ed enunciare un risultato di convergenzaper tale metodo. e)Determinare se ciascuno dei due metodi deniti ai punti b) e c) possa essere reinterpretato comemetodo di Richardson stazionario precondizionato e, in caso aermativo, fornire un'espressione per il precondizionatore. f )Siano=12 ; ==56 e sia bun vettore tale cheAx ex= b, conx exun vettore con tutti gli elementi pari a 1. Utilizzando la funzione Matlabrichardson.mfornita, si risolva il sistema lineareAx=b con ciascuno dei metodi che al punto precedente sono stati reinterpretati come metodo di Richardson. Si consideri il vettore inizialex(0) =0, una tolleranza di10 4 e un numero massimo di iterazioni pari a 100. Si riporti il numero di iterazioni eettuate e l'errore in normaArispetto alla soluzione esatta.2 3 4 Esercizio 2 Si consideri la seguente matrice A=0 @ 1 0:2 0:3 1 3 0:4 0:2 2 81 A:(3) a)Enunciare i risultati noti come primo e secondo teorema di Gershgorin per localizzare nel piano com-plesso gli autovalori di una generica matriceA2Cn n . Si denisca tutta la notazione utilizzata. b)Utilizzando i teoremi enunciati al punto precedente, si stabilisca il numero di autovalori complessidella matriceAdenita in (3). c)Illustrare il metodo delle potenze per l'approssimazione dell'autovalore di modulo massimo di unagenerica matriceA2Cn n . Sapreste spiegare perché il metodo delle potenze genera una successione che converge all'autovalore di modulo massimo ? d)Nel caso della matriceAdenita in (3) è possibile utilizzare il metodo delle potenze per calcolare l'autovalore di modulo massimo ? e)Calcolare con Matlab tutti gli autovalori della matriceAutilizzando in modo opportuno i metodi delle potenze e delle potenze inverse (con shift) forniti con le funzionieigpowereinvpowershift. Per ciascun algoritmo utilizzato, inizializzare l'autovettore ax(0) = [1 1 1]T , scegliendo una tolleranza pari a"= 10 5 , e riportare il numero di iterazioni compiute dal metodo e l'approssimazione dell'autovalore in questione.5 6 7 Esercizio 3 Si consideri la funzione f(x) =ex x 22 x1; il cui unico zero è dato da= 0. Rispondere ai seguenti punti, utilizzando Matlab per eventuali calcoli e/o graci. a)Denire il metodo di Newton per l'approssimazione die determinarne l'ordine di convergenza (locale) per il caso della funzione assegnata. b)Si considerino inoltre i metodi di punto ssox( k+1) = (x( k) )sull'intervalloI= [1;1]deniti da 1( x) =ex x 22 1; 2( x) =e x3  x+x2 +x 32  : Peri= 1;2, dire serisulta eettivamente un punto sso di i, e se il corrispondente metodo risulta globalmente convergente suI, motivando la risposta alla luce della teoria (se si sfrutta un risultato noto dalla teoria, mostrare che ne vengono soddisfatte le ipotesi). c)Siala funzione di iterazione del punto precedente per la quale si ha convergenza globale : dato x(0) = 3=4, stimare il numero minimokdi iterazioni anché l'errore sia minore di10 6 . d)Utilizzando la funzionescelta al punto b) per approssimare lo zero della funzionef, si calcoli l'approssimazione fornita dalla funzione Matlabfixed_point_iterations.mconsiderandox(0) = 3=4 e una tolleranzatol=1e-6. Si riporti il valore di tale approssimazione ed il numero di iterazioni eettuate.8 9 10 Esercizio 4 Si consideri il seguente problema di Cauchy : y0 (t) =Carctan(ky(t)); t2(0; T) y(0) =y 0(4) doveC; k >0sono due costanti positive assegnate. a)Scrivere lo schema di Eulero in avanti (o Eulero esplicito) e lo schema di Heun per il problema diCauchy (4). b)Determinare, in funzione diCek, il valore dih max> 0che garantisce, perh < h max, che si possano controllare le perturbazioni (dovute agli errori di arrotondamento) sulla soluzione numerica ottenuta con uno di questi due schemi, quandoT! 1- ovvero, che i metodi risultano assolutamente stabili. c)Usando le funzioni Matlabeulero_avanti.meheun.mfornite, risolvere il problema di Cauchy (4) nel casoC= 0:4,k= 0:2,T= 100,y 0= 1 . Riportare, in modo accurato, il graco della soluzione calcolata prendendoh= 0:6h maxe h= 1:1h max. d)Dimostrare che il metodo di Eulero in avanti applicato a un generico problema di Cauchyy0 (t) =f(t; y(t)); t2(0; T) y(0) =y 0(5) è consistente, e ha ordine 1, motivando opportunamente tutti i passaggi della dimostrazione. e)Stimare numericamente (per via graca o algebrica) l'ordine di convergenza in norma innito per il me-todo di Eulero in avanti e per il metodo di Heun. Come valori dihsi considerinoh= 0:6h max; 0:3h max; 0:15h max; 0:075h maxe si prenda come soluzione esatta la soluzione ottenuta con h= 0:001h max. Per valutare la dierenza tra due soluzioni discrete in norma innito, si utilizzi la funzione Matlab diff_infinito.mfornita.11 12 13