Mathematical Engineering - Matematica Numerica

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MATEMATICA NUMERICAESEMPIO di APPELLOFirma leggibile dello studente CDL Ingegneria MatematicaGiugno 2018 Prof. Alo QuarteroniDurata : 2h30' NomeCognomeMatricola Esercizio 1 Si consideri un sistema lineare caratterizzato dalla seguente matrice : A=0 B B @20 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 C C A: a)Si dica per quali scelte dei parametri il sistema si può risolvere con il metodo delle sostituzioni all'in-dietro. b)Si dica per quali scelte dei parametri esiste la fattorizzazione LU di Gauss della matriceA. c)Si indichino condizioni sucienti sui parametri anchè i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel convergono. d)Quali condizioni deve vericare la matriceAanché il metodo del gradiente si possa applicare ? Quali scelte dei parametri , , garantiscono che tali condizioni sono soddisfatte ? Se necessario, usare Matlab per motivare la vostra risposta. e)Prendendo i valori di e trovati al punto d), e posto = 1, si applichi il metodo del gradiente coniugato precondizionato scegliendo b=Ax ex; x ex= [1 1 1 1]T e come matrice di precondizionamentoP=D, dove Dii= ( A) ii; D ij= 0 8i; j= 1; : : : ;4; i6 =j: Si calcoli il numero minimo di iterazionik minnecessarie anché ke( k) kAk e(0) kA 10 3 dovee( k) è l'errore al passok, ek
k Aindica la norma dell'energia. f )Usare inne la funzionepcgdi Matlab per risolvere il sistema lineare compiendok miniterazioni e riportare l'errore relativo ottenuto dal metodo all'iterazionek min. Si noti che la funzione pcgutilizza x(0) =0come condizione iniziale.Copyright ©20172018 MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano. Questo testo (compresi i quesiti ed il loro svolgimento) è coperto da diritto d'autore. Non può essere sfruttato a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Non possono essere ricavati lavori derivati. Ogni abuso sarà punito a termine di legge dal titolare del diritto. This text is licensed to the public under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs2.5 License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/)1 Esercizio 2 La funzionef(x) = (x1) ln(x) cos(x=2): possiede due zeri= 1e=nell'intervalloI= [0:5;4]. a)Usando la funzione Matlabnewton.m(che implementa il metodo di Newton) conx(0) = 0:6, una tolleranzatol= 10 6 e un numero massimo di iterazioni pari a 100, calcolare una approssimazione dello zero. Vericare numericamente che il metodo converge versocon ordinep= 1, ovvero 9C >0 :9k 0> 0 :j x( k+1) jj x( k) jp C8kk 0; conC2(0;1), riportando il valore stimato della costanteC. b)Usando ancora la funzione Matlabnewton.mconx(0) = 3:5, una tolleranzatol= 10 6 e un numero massimo di iterazioni pari a 100, calcolare una approssimazione dello zero. Vericare numericamente che il metodo converge versocon ordinep= 2. c)Si osservi che la radiceha molteplicità 2. A partire dalla funzione Matlabnewton.m, implemen- tare il metodo di Newton modicato nella funzionenewtonMod.m. Utilizzando quest'ultima funzione conx(0) = 0:6, una tolleranzatol= 10 6 e un numero massimo di iterazioni pari a 100, vericare numericamente che il metodo di Newton modicato converge versocon ordinep= 2. d)Dimostrare che il metodo di Newton per la ricerca di una radice semplice dell'equazionef(x) = 0 converge con ordine 2. Dimostrare inoltre che il metodo di Newton modicato nel caso di una radice di molteplicità 2 converge con ordine 2.Copyright ©20172018 MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano. Questo testo (compresi i quesiti ed il loro svolgimento) è coperto da diritto d'autore. Non può essere sfruttato a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Non possono essere ricavati lavori derivati. Ogni abuso sarà punito a termine di legge dal titolare del diritto. This text is licensed to the public under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs2.5 License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/)2 Esercizio 3 a)Si denisca il polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di una generica funzionef(x)inn+ 1nodi distintifx ign 0=1. b)Si consideri la funzionef(x) = 1 +13 x 3 +12 sin(  x) sull'intervalloI= [1;1]. Determinare con Matlab il polinomio interpolante nf (x)di gradon= 4nei nodi di Chebyshev-Gauss-Lobatto sull'intervalloI, riportandone il graco. Riportare anche il valore nf (x )assunto dal polinomio inx = 0:5. Riportare tutti i comandi Matlab utilizzati. c)Si riporti la stima dell'erroreEn( f) = max x2[1;1]j f(x) nf (x)j associato al polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di gradon= 4. Si applichi questa stima dell'errore al caso discusso al punto b) riportando i valori dell'erroreE n( f)e della sua stima ottenuti con Matlab. Riportare tutti i comandi Matlab utilizzati. d)Dato un intervalloIe volendo determinare il polinomio interpolante di Lagrange nf (x)di una generica funzionef(x)inn+ 1nodi distintifx ign i=0su I, scegliereste nodi di Chebyshev-Gauss- Lobatto oppure nodi equispaziati ? Motivare la risposta.Copyright ©20172018 MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano. Questo testo (compresi i quesiti ed il loro svolgimento) è coperto da diritto d'autore. Non può essere sfruttato a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Non possono essere ricavati lavori derivati. Ogni abuso sarà punito a termine di legge dal titolare del diritto. This text is licensed to the public under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs2.5 License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/)3 Esercizio 4 Si consideri il seguente sistema di equazioni dierenziali ordinarie : 8 > > > > < > > > > :(1 )x0 (t) x(t)y= 0; t2(0; T] y00 (t) +x(t) + y(t) = 0; t2(0; T] x(0) =x 0; y(0) =y 0; y0 (0) =z 0;(1) doveT= 5e i coecienti;  ; 2[0;1)non dipendono dal tempo. a)Mostrare che tale sistema di equazioni è equivalente a un'equazione vettoriale della formaw0 (t) =Aw(t); t >0 w(0) =w 0 esplicitando la matriceA, il vettorew 0e il vettore w(t) = (w 1( t); w 2( t); w 3( t))T . b)Si consideri il metodo di Eulero all'indietro (o Eulero implicito) per risolvere il problema ottenuto alpunto precedente : si riporti la formulazione del metodo applicato al problema in esame e si mostri che occorre risolvere, a ciascun passo di tempo, un sistema lineare in cui compare la stessa matriceB. Si indichi almeno un metodo eciente per la risoluzione di tale sistema lineare. c)Si discuta stabilità, consistenza e convergenza di questo metodo. d)Siano= 0:2; = 0:3; = 0:4e si consideri un passo temporaleh= 0:1. Determinare la matrice Be fattorizzarla, spiegando per quale motivo la fattorizzazione scelta risulta ben posta. Riportare i comandi Matlab utilizzati e il risultato ottenuto. e)Per risolvere un problema di Cauchy pery0 =f(t; y), si consideri ora il metodo seguente di Adams- Moulton a due passi : un+1= u n+h12 (5 f n+1+ 8 f n f n1) : Si discuta stabilità, consistenza e convergenza di tale metodo. f )Applicare il metodo di Adams-Moulton a due passi al problema discusso al punto a). Lo si riscrivanella formaEw n+1= Gw n+ Hw n1; riportando l'espressione delle matriciE,GedH.Copyright ©20172018 MOX - Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano. Questo testo (compresi i quesiti ed il loro svolgimento) è coperto da diritto d'autore. 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