Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 01

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 1 Utilizzo di Matlab Esercizio 1 Utilizzando il comandodiag, denire in Matlab la matriceA2Rn n conn= 10 A=2 6 6 6 6 6 6 6 42 1 1 21 1 21 :::: ::: :: 1 23 7 7 7 7 7 7 7 5 In seguito, calcolare tramite Matlab le seguenti quantità :a)il determinante diA. b)le seguenti norme,kAk 1; kAk 2; kAk 1(suggerimento : visualizzate le opzioni del comando norm). c)i numeri di condizionamento in norma 1, 2 e1diA, indicati rispettivamente conK 1(A) ; K 2(A) e K1(A) . d)il terzo autovalore diA, detto 3(A) ed il corrispondente autovettore (nell'ordine in cui vengono forniti da Matlab). e)il raggio spettrale diA, indicato con(A). Si verichi che, essendoAsimmetrica, si ha(A) =kAk 2. Sempre utilizzando Matlab, si verichi inoltre che la matriceV, le cui colonne sono costituite dagli autovettori diA, permette di diagonalizzare la matriceA. In particolare vericare che V 1 AV =D= diag( 1; : : : ;  n) : Esercizio 2 Scrivere due funzioni che, dato in ingresso un valoren, restituiscano la matrice dinnvalori T=2 6 6 6 6 6 41 0 1 0 : : : 0 1 0 1: : : 1 0 1 0: : : 0 1 0 1: : : : : :: : :: : :: : :: ::3 7 7 7 7 7 5 Una funzione utilizzi le istruzioni di ciclo, mentre l'altra sfrutti solamente la notazione matriciale di Matlab. Esercizio 3a)Scrivere uno scriptmat_hilbert.mche fornisca la matrice di Hilbert avente dimensione55, i cui elementia i jsono deniti da : ai j=1i +j1: b)Vericare il corretto funzionamento della funzione del punto precedente, confrontandone il risultatocon la matrice restituita dal comandohilb(5).1 Esercizio 4 Denire la colonna di valoriadi lunghezzan= 10tale che : ak=8 > < > :1k se k= 2, oppurek= 6 1( k2)(k6)altrimenti Si utilizzi il cicloforper denire ogni elemento della lista e l'istruzioneifper controllare l'indice di tale elemento. Esercizio 5 Con l'algoritmo di Erone si può determinare la radice quadrata di un numero reale positivon, come il limite perk! 1della successione rk=8 < :n sek= 0 12  rk1+nr k1 sek= 1;2;3: : : : Scrivere una funzione che prende in ingressone mediante l'algoritmo di Erone contoll= 1e3restituisce un'approssimazione della radice quadrata dine il relativo graco della successioner kgenerata. Esercizio 6 Approssimareutilizzando l'algoritmo di Archimede : pn= 2n ancon a n=8 < :p2 sen= 1 p2 r1 q1 14 a 2 n1se n= 2;3; : : : qn= 2n bncon b n=8 > < > :2 sen= 1 anq 1 14 a 2 n1se n= 2;3; : : : dovep nè monotona crescente mentre q nè monotona decrescente e entrambe approssimano rispettivamente per difetto ed eccesso. Si implementi il calcolo degli elementi delle successioni e si mostri gracamente che esse tendono a. Esercizio 7 Utilizzare un ciclowhileper determinare quanti anni occorrono per accumulare un milione di euro in un conto corrente bancario se vengono depositati 10 mila euro iniziali, 10 mila alla ne di ogni anno e se la banca riconosce un interesse annuo del2%sui conti correnti. Esercizio 8a)Rappresentare gracamente la circonferenza di equazionex2 +y2 = 1: b)Rappresentare gracamente l'ellisse di equazionex 24 +y 29 = 1 . c)Rappresentare gracamente il quadrato di lato5centrato nell'origine con i lati paralleli agli assi cartesiani.2 Esercizio 9 Rappresentare la seguente funzione denita a tratti : f(x) =( p( x2 x)x