Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 02

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PoliFEM in 30' Introduzione a PoliFEM Andrea Manzoni MOX - Dipartimento di Matematica Matematica Numerica CdL in Ingegneria Matematica7 marzo 2019Andrea Manzoni (MOX)Introduzione a PoliFEMMatematica Numerica 1 / 20 Formulazione debole del problema Consideriamo il seguente problema ai limiti:( u00 =fin(a;b) u(a) =u(b) = 0(1) dovef: (a;b)!Re una funzione sucientemente regolare. Si puo vericare che la formulazione debole del problema (1) e data da:trovare u2Vtale chea(u;v) =F(v)8v2V;(2)con a(u;v) =Z b au 0 v0 dx;F(v) =Z b afv dx eV=fv2H1 (a;b) :v(a) =v(b) = 0g:Andrea Manzoni (MOX)Introduzione a PoliFEMMatematica Numerica 2 / 20 Il metodo di Galerkin Con il metodo degli elementi niti (Finite Element Method, FEM) vogliamo determinare unafunzioneu hche approssimi la soluzione unel dominio (a;b)R. La soluzione approssimatau happartiene a un opportuno spazio nito dimensionaleV he deve soddisfare le condizioni al contorno del problema.Il metodo di Galerkin consiste nel rimpiazzare lo spazio innito dimensionale V con uno spazio nito dimensionaleV h Vdi dimensioneN h:trovare u h2 V htale che a(u h; v h) = F(v h) 8v h2 V h: (3)Indicando con fj j; j= 1;2; : : : ;N hg una base diV h, e suciente che (3) sia vericata per ogni funzione della base, poiche tutte le funzioni dello spazioV h sono combinazioni lineari dellej j. Richiederemo quindi che a(u h; j i) = F(j i) ;i= 1;2; : : : ;N h: (4)Andrea Manzoni (MOX)Introduzione a PoliFEMMatematica Numerica 3 / 20 Il metodo di Galerkin Poicheu h2 V h, possiamo esprimere uh( x) =N h å j=1u jj j( x); dove gliu j; j= 1; : : : ;N h, sono coecienti incogniti. Le equazioni (4) divengono dunqueNh å j=1u ja (j j; j i) = F(j i) ;i= 1;2; : : : ;N h: (5) Indichiamo conAla matrice (detta di rigidezza, ostiness) con elementi Aij= a(j j; j i) e confil vettore di componentif i= F(j i). Seudenota il vettore avente per componenti i coecienti incognitiu j, (5) e equivalente al sistema lineareAu=f:(6)Andrea Manzoni (MOX)Introduzione a PoliFEMMatematica Numerica 4 / 20 Il metodo di Galerkin - Elementi Finiti Sono possibili varie scelte per lo spazioV h. Nel metodo degli elementi niti, V he denito come uno spazio difunzioni polinomiali a tratti. A questo scopo, introduciamo una partizioneT h(detta anche mesh) di (a;b) inN sottointervalliI j= ( x j; x j+1), detti anche elementi, di ampiezzah j= x j+1 x j, con a=x 1< x 2<