Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 04

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 4 Propagazione dell'errore in sistemi lineari Esercizio 1 Si consideri la matrice di HilbertA2Rn n A =2 6 6 6 6 6 41 12 13 14 : : : 12 13 14 : : : 13 : : : : : :3 7 7 7 7 7 5; a ij=1i +j1: a)Calcolare pern= 1;2; : : : ;10la matriceA(scrivendo un'opportunafunctionMatlab oppure uti- lizzando il comandohilb) e il suo numero di condizionamentoK 2(A) mediante il comandocond. Salvare i numeri di condizionamento calcolati in un vettore di 10 componenti. b)Visualizzare su un graco in scala semilogaritmica (lineare nelle ascisse e logaritmica nelle ordinate)l'andamento diK 2(A) in funzione din, utilizzando il comandosemilogy. Dedurre cheK 2(A) si comporta comeen . c)Si costruisca un vettore colonnax exunitario di ncomponenti, utilizzando il comandoonese si calcoli il vettoreb= Ax ex. Per ogni n= 1;2; : : : ;10, si risolva, quindi, il sistema lineareAx=bmediante il comandone si calcoli l'errore relativo" r=k xx exkk x exk. Si visualizzi tale errore su un graco in scala semilogaritmica e si deduca che esso ha lo stesso comportamento del numero di condizionamento diA. d)Si mostri numericamente che il rapporto tra" re K 2(A) , per ognin= 1;2; : : : ;10, è dell'ordine dell'unità diround-o. e)Denito ilresiduor=bAx, vale la seguente stimaa posterioridi"r : kxx exkk x exk K(A)k rkk bk: (1) Per ognin= 1;2; : : : ;10, si calcoli la norma del residuokrke del residuo relativokrk=kbk. Si noti che il residuornonè esattamente nullo, a causa degli errori diround-o. f )Si verichi che la norma del residuo ottenuta è dell'ordine dell'unità diround-oper ognin. g)Si verichi la stima a posteriori (1). h)Si giustichino i risultati ottenuti al punto (d) sulla base dei punti precedenti.1 Esercizio 2 SiaA2Rn n una matrice simmetrica denita positiva, indichiamo con ie v i, i= 1; : : : ; ni suoi autovalori e autovettori. Si verichi che sexè la soluzione del sistema lineareAx=b, allora x=n X i=1c i iv i; dovec iè l' i-esima componente del vettorebnel suo sviluppo rispetto alla base ortonormale degli autovettori diA. Si consideri poi il seguente sistema lineareAx=b 1001 1000 1000 1001  x1 x2 = b1 b2 : Si osservi che la matriceAè mal condizionata avendo autovalori 1= 1 , 2= 2001 . Datob= [2001 2001]T , vericare che una piccola perturbazioneb= [1 0]T produce una grande variazione nella soluzione (si utilizzi il risultato dell'esercizio precedente). Analogamente, si verichi che una piccola perturbazionex= [0:001 0]T nella soluzione produce una piccola variazione nel termine notob.2