Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 16

Divided by topic

MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 16 Equazioni dierenziali ordinarie Esercizio 1 Sia dato il seguente problema di Cauchy y0 (t) =f(t; y(t)); t2(t 0; t 0+ T]; y(t 0) = y 0;(1) conf(t; y)funzione sucientemente regolare. Dimostrare che il metodo di Heun è consistente di ordine 2. Esercizio 2 Per l'approssimazione numerica del generico problema di Cauchy (1) si consideri il seguente metodo : dato u0= y 0, per n0 8 > > > > < > > > > :u n+1=2= u n+h2 f (t n; u n) ; pn= f(t n+h2 ; u n+1=2) ; un+1= u n+ hp n:(2) Il metodo (2) è esplicito o implicito ? Studiarne consistenza, ordine e convergenza. Esercizio 3 Si consideri il problema di Cauchy y0 (t) =2y(t) + 2e tpy (t); t2[1;3] y(1) =e 2 la cui soluzione esattay(t)è una funzione positiva decrescente. a)Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all'indietro per approssimare la soluzioney(t)del problema di Cauchy dato. Qual è l'ordine dei due metodi ? b)Determinare per quali valori dihla condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo chepy (t)> e t =2. c)Riscrivere il metodo di Eulero all'indietro sotto la forma un+1= (u n+1; h; t n; u n) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto sso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto sso risulta convergente ?1 Esercizio 4 La stabilità assoluta garantisce il controllo delle perturbazioni sui tempi lunghi. Per mostrare tale risultato nel caso del metodo di Eulero in avanti, (un+1= u n+ hf(t n; u n) ; n0; u0= y 0(3) possiamo introdurre il seguente metodo perturbato :zn+1= z n+ h(f(t n; z n) +  n+1) ; n0; z0= y 0+  0;(4) dove 0;  1; : : : sono perturbazioni introdotte ad ogni time-step, che rappresentano errori di troncamento. Si mostri che nel caso in cui90<  min<  max:  max