Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 18

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 18 Sistemi di equazioni dierenziali ordinarie Esercizio 1 Si consideri il problema di Cauchy y0 (t) =2y(t) + 2e tpy (t); t2[1;3] y(1) =e 2 la cui soluzione esattay(t)è una funzione positiva decrescente. a)Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all'indietro per approssimare la soluzioney(t)del problema di Cauchy dato. Qual è l'ordine dei due metodi ? b)Determinare per quali valori dihla condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo chepy (t)> e t =2. c)Riscrivere il metodo di Eulero all'indietro sotto la forma un+1= (u n+1; h; t n; u n) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto sso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto sso risulta convergente ? Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema dierenziale di ordine 2 : 8 < :u 00 (t) +cu0 (t) +ku(t) = 0; t >0; u(0) =u 0; _ u(0) =v 0; doveceksono costanti reali positive. a)Si pongaw(t) = [w 1( t); w 2( t)]T = [u(t); u0 (t)]. Scrivere l'equazione precedente sotto forma di un sistema 22 di equazioni dierenziali ordinarie del primo ordine : w0 (t) = Aw(t):(1) Fornire l'espressione della matriceA. b)Scrivere gli schemi di Eulero in avanti (o Eulero Esplicito) ed Eulero all'indietro (o Eulero Implicito)per risolvere il precedente sistema. In seguito, si consideri la trasformazione di similitudineA = VDV 1 che diagonalizzaAe si consideri il cambio di variabiliw(t) = Vx(t). Che caratteristiche ha il sistema (1) riscritto rispetto alla nuova variabilex? c)Si consideri il casoc= 5ek= 6. Usando il cambio di variabili introdotto al punto b), trovare i valori del passo temporalehche garantiscono l'assoluta stabilità del metodo di Eulero Esplicito. In che modo tale condizione è legata agli autovalori diAed in particolare al suo raggio spettrale(A)?1 Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema di equazioni dierenziali lineari : 8 > > > < > > > :w 0 1( t) =w 1( t)aw 2( t) +b 1; t > 0 w0 2( t) =aw 1( t)w 2( t) +b 2; t > 0 w1(0) = w 1;0 w2(0) = w 2;0 dovea,b 1, b 22 Rsono tre coecienti dati. a)Dopo aver riformulato il sistema in forma vettorialew0 (t) = Aw(t) +b w(0) =w 0 conw(t) = (w 1( t); w 2( t))T eA2R2 2 , scrivere i metodi di Eulero Esplicito e di Heun. b)Si consideri la diagonalizzazione della matriceA = VDV 1 , doveVè la matrice le cui colonne sono gli autovettori diAeD=diag( 1;  2) è la matrice diagonale degli autovalori diA. Introducendo la trasformazionexn = V 1 wn , esprimere i due schemi del punto a) in funzione dell'incognitaxn . c)Studiare l'assoluta stabilità dei due schemi in funzione diasupponendojaj > > > < > > > > :y 0 1( t) = 0:4y 1( t)0:01y 1( t)y 2( t)0:005y 1( t)y 3( t) y0 2( t) = 0:005y 1( t)y 2( t) + 0:03y 2( t)0:005y 2( t)y 3( t)t >0 y0 3( t) = 0:005y 1( t)y 3( t) + 0:0025y 2( t)y 3( t)0:15y 3( t)(2) dovey 1( t),y 2( t)ey 3( t)rappresentano, in funzione del tempo, il numero di elementi delle tre popolazioni, Sia til tempo (in mesi) e si consideri la condizione inizialey 1(0) = 10 ,y 2(0) = 10 ety 3(0) = 10 . a)Il problema (2) è un sistema di equazioni dierenziali ordinarie, che può essere scritto nella formagenerale y0 (t) =f(t;y); t >0;y(0) = [y 1(0); y 2(0); y 3(0)]T ; dovey(t) = [y 1( t);y 2( t);y 3( t)]. Denire la funzionef(t;y) = [f 1( t;y);f 2( t;y);f 3( t;y)]corrispondente al problema (2) come una funzione :f = @(t,y) [ 0.4 *y(1) - .. ; 0.005 *y(1) *y(2) + .. ; .. ];b)Usare la funzione Matlab eulero_avantiper risolvere (2) con il metodo di Eulero in avanti su un intervallo di tempo di 96 mesi (8 anni). Tracciare il graco delle tre popolazioni nel corso di questi otto anni, utilizzando un numero di passi di tempo pari aN h= 96 . c)Utilizzare il metodo di Crank-Nicolson per risolvere il sistema (2) sullo stesso intervallo di tempo, conle speciche del punto precedente.2 Esercizio 5 SiaA2R10 la seguente matrice tridiagonale : 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 42 1 1 21 :::: ::: :: 1 21 1 23 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 e siab2R10 il vettore tale cheu ex= (1 ; : : : ;1)T sia la soluzione esatta del sistemaAu ex= b. Si osservi che la matriceAè diagonalizzabile e ha autovalorif ig10 i=1positivi. a)Si risolva il sistemaAu=bcon il metodo di Richardson stazionario non precondizionato, utilizzando la funzione Matlabrichardsonfornita. Si consideri una tolleranza di10 9 , un numero massimo di iterazioni pari a 2000, un vettore inizialeu 0= (0 ; : : : ;0)T e si faccia variare il valore del parametro di accelerazionenell'intervallo[0:2;0:6]. Si stabilisca numericamente un valore massimo diper cui il metodo converge e si giustichi tale risultato alla luce della teoria. b)Si consideri ora il seguente problema di Cauchy vettoriale :(_ u=bAu;0< t < T ; u(0) =u 0;(3) doveT= 100, e lo si risolva utilizzando la funzione Matlabeulero_avantifornita. Si faccia variare il passo di discretizzazionehnell'intervallo[0:2;0:6]e si determini numericamente il passo massimo che garantisca stabilità del metodo. Si giustichi tale risultato alla luce della teoria. c)Si confrontino le formule di iterazione per i due metodi e se ne mettano alla luce analogie e dierenze.3