Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise 19

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 19 Metodi multipasso per eq. di. ordinarie Esercizio 1 Si consideri il seguente metodo a più passi lineare un+1= 23 + 2  un+ 23  2 +2 1 un1 +h 2 26 4  fn+  26 4  fn1 (1) doveè un parametro reale. Studiarne consistenza, ordine, stabilità e convergenza in funzione di. Esercizio 2 Si vuole costruire ed implementare un metodo a 2 passi lineare, esplicito, e di ordine massimo. a)Scrivere la generica formulazione di un metodo a 2 passi lineare esplicito. Quanti parametri liberi visono a disposizione ? Scrivere le condizioni algebriche tali che il metodo risulticonsistentedi ordine q1. Quale sarebbe il massimo ordine di consistenzaq consottenibile con i parametri a disposizione ? Trovare tali parametri (usare Matlab per eettuare i calcoli). b)Scrivere le condizioni anché il metodo in esame siazero-stabile. Quanti vincoli introduce tale condi- zione ? Qual è il massimo ordineq convdi convergenzaottenibile con i parametri a disposizione ? c)Supponendo di considerare il caso limite in cui il criterio delle radici sia vericato con tutte le radicicaratteristiche sul bordo del cerchio unitario, si derivino i valori dei coecienti del metodo corrispon- dente. d)Si scriva uno script Matlab che implementi il metodo ottenuto in c) e che calcoli l'errore Eh= max n=0;:::;N hj y(t n) u nj ; applicato al problema di Cauchy seguente (la cui soluzione esatta èy(t) =1t +1+ 1 ), (y0 =(y1)2 ; t2[0;1]; y(0) = 2: Si inizializzi il metodo con i valori della soluzione esatta, e si calcoli l'errore perh=h 0, h=h 0= 2, h=h 0= 4(conh 0= 0 :01)vericando che l'ordine di convergenza è quello atteso. Si verichi anche che i parametri ottenuti al punto a) danno luogo ad un metodo instabile.1 Esercizio 3 Si derivi il metodo BDF ap+ 1 = 2passi per l'approssimazione numerica del generico problema di Cauchy y0 (t) =f(t; y(t)); t >0; y(0) =y 0: In particolare, siah >0il passo di tempo, eu nuna approssimazione di y(t n) al tempot n= nh. Detto ~  p+12 P p+1il polinomio che interpola i p+ 2valoriu njnei nodi t nj, j= 0; : : : ; p+ 1, si imponga d~  p+1( t n+1)d t= f(t n+1; u n+1) = f n+1: Si verichi che lo schema così costruito si può scrivere nella forma seguente : un+1=43 u n13 u n1+23 h f n+1: Inne, si studi stabilità e ordine del metodo trovato. Esercizio 4 Si consideri il seguente metodo a più passi : un+1= u n+h24 (9 f n+1+ 19 f n 5f n1+ f n2) :(2) a)Studiare consistenza e ordine del metodo (2). b)Studiare la zero-stabilità del metodo (2), scrivere il suo polinomio caratteristico(r;h)e determinare, utilizzando il programmaqssstabreg, la regione di assoluta stabilità. c)Si consideri il seguente problema di Cauchy (di cui si può calcolare la soluzione esatta) : y0 (t) =3t2 y(t);0< t