Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise - 16 - Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 16 - Soluzione Equazioni dierenziali ordinarie Esercizio 1 Sia dato il seguente problema di Cauchy y0 (t) =f(t; y(t)); t2(t 0; t 0+ T]; y(t 0) = y 0;(1) conf(t; y)funzione sucientemente regolare. Dimostrare che il metodo di Heun è consistente di ordine 2. Soluzione 1 Il metodo di Heun si scrive nella forma8 < :u n+1= u n+h2  f(t n; u n) + f tn+1; u n+ hf(t n; u n)
 ; n0; u0= y 0:(2) per cui, dalla denizione di errore di troncamento locale, si ricavan+1( h) =y(t n+1) y(t n) h2 [ f(t n; y (t n)) + f(t n+1; y (t n) + hf(t n; y (t n))] =y(t n+1) y(t n) h2 [ f(t n; y (t n)) + f(t n+1; y (t n+1))] h2 [ f(t n+1; y (t n) + hf(t n; y (t n)) f(t n+1; y (t n+1))] : Riscrivendo il terminey(t n+1) y(t n) in forma integrale, avremo n+1( h) =Z tn+1 tnf (t; y(t))dth2 [ f(t n; y (t n)) + f(t n+1; y (t n+1))] h2 [ f(t n+1; y (t n) + hf(t n; y (t n)) f(t n+1; y (t n+1))] =h 312 d 2dt 2f (t; y(t))j t= nh2 [ f(t n+1; y (t n) + hf(t n; y (t n)) f(t n+1; y (t n+1))] ; dove l'ultima uguaglianza deriva dalla formula dell'errore per la formula di quadratura del trapezio. Applicata all'intervallo[t n; t n+1] , l'errore di approssimazione ottenuto con la formula del trapezio risulta pari a Ztn+1 tnf (t; y(t))dth2 ( f(t n; y (t n)) + f(t n+1; y (t n+1)) = h 312 d 2dt 2f (t; y(t))j t= n: Si ha quindij n+1( h)j=   n+1( h)h    O (h2 ) +12 L jy(t n) + hf(t n; y (t n)) y(t n+1) j  O(h2 ) +L2 h O(h) =O(h2 ) e di conseguenza(h) = max 0nN1j  n+1( h)j=O(h2 ); cioè il metodo è di ordine 2.1 Esercizio 2 Per l'approssimazione numerica del generico problema di Cauchy (1) si consideri il seguente metodo : dato u0= y 0, per n0 8 > > > > < > > > > :u n+1=2= u n+h2 f (t n; u n) ; pn= f(t n+h2 ; u n+1=2) ; un+1= u n+ hp n:(3) Il metodo (3) è esplicito o implicito ? Studiarne consistenza, ordine e convergenza. Soluzione 2 Lo schema (3) può essere riscritto nel modo seguente un+1= u n+ hf tn+h2 ; u n+h2 f (t n; u n)
; dunque il metodo è esplicito. Per studiarne la consistenza scriviamo anzitutto il residuo" n+1( h)generato sostituendo la soluzione esatta a quella approssimata nell'n-esimo passo dello schema numerico "n+1( h) =y n+1 y n hf tn+h2 ; y n+h2 f (t n; y n)
: Ricordiamo la formula dello sviluppo di Taylor del primo ordine di una funzionegdi due variabili (suppo- nendogdi classeC1 in un intorno di( x; y)) : indichiamo conh 1e h 2gli incrementi nelle direzioni xey rispettivamente, con 1e  2costanti, abbiamo che g( x+h 1;  y+h 2) = f( x; y) +h 1@ g@ x    ( x; y)+ h 2@ g@ y    ( x; y)+ O(h2 ):(4) Utilizzando lo sviluppo di Taylor (4) cong=f, 1= 1 =2e 2= 1 =2f(t n; y n) , otteniamo f tn+h2 ; y n+h2 f (t n; y n)
=f(t n; y n) +h2 @ f@ t ( t n; y n) +h2 @ f@ y ( t n; y n) f(t n; y n) + O(h2 ) =f(t n; y n) +h2 ddt f (t; y(t))    t=t n+ O(h2 ) =y0 n+h2 y 00 n+ O(h2 ); e dunqueyn+1= y n+ hy0 n+h 22 y 00 n+ O(h3 ): Inserendo l'espressione trovata pery n+1nella formula del residuo " n+1( h)ricaviamo che "n+1( h) =hy0 n+h 22 y 00 n h y0 n+h2 y 00 n+ O(h2 ) +O(h3 ) =O(h3 ) L'errore di troncamento è quindin+1( h) =" n+1( h)h = O(h2 );0nN1; da cui(h) = max 0nN1j  n+1( h)j=O(h2 ); e quindi il metodo è consistente di ordine 2.2 Per studiare la convergenza del metodo, assumendo che fsia localmente Lipschitziana rispetto ady, possiamo facilmente dimostrare che anche la funzione di incremento(
;
)è Lipschitziana rispetto adyuniformemente perh!0. Infatti, j(t; y)(t; z)j=  f t+h2 ; y +h2 f (t; y)
f t+h2 ; z +h2 f (t; z)
   (jy+h2 f (t; y)zh2 f (t; z)j)(jyzj+jh2 f (t; y)h2 f (t; z)j) (jyzj+h2  jyzj) =~ jyzj: Il metodo risulta quindi zero-stabile e, per il teorema di equivalenza di Lax-Richtmyer, possiamo concludere che il metodo è convergente di ordine 2 nell'intervallo[t 0; t 0+ T]. Esercizio 3 Si consideri il problema di Cauchy y0 (t) =2y(t) + 2e tpy (t); t2[1;3] y(1) =e 2 la cui soluzione esattay(t)è una funzione positiva decrescente. a)Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all'indietro per approssimare la soluzioney(t)del problema di Cauchy dato. Qual è l'ordine dei due metodi ? b)Determinare per quali valori dihla condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo chepy (t)> e t =2. c)Riscrivere il metodo di Eulero all'indietro sotto la forma un+1= (u n+1; h; t n; u n) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto sso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto sso risulta convergente ? Soluzione 3a)Con la notazione usuale, gli schemi di Eulero in avanti (EA) e di Eulero all'indietro (EI) per il problemadi Cauchy y0 (t) =2y(t) + 2e tpy (t); t2[1;3] y(1) =e 2 sono dati daun+1= u n+ hf n(EA) un+1= u n+ hf n+1(EI) (5) dovef n= f(t n; y n) , conf(t; y) =2y(t) + 2e tpy (t). I due schemi sono entrambi di ordine 1. b)La condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti nel caso in cui@ f@ y ( t; y(t))