Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise - 18 - Solution

Divided by topic

MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 18 - Soluzione Sistemi di equazioni dierenziali ordinarie Esercizio 1 Si consideri il problema di Cauchy y0 (t) =2y(t) + 2e tpy (t); t2[1;3] y(1) =e 2 la cui soluzione esattay(t)è una funzione positiva decrescente. a)Scrivere i metodi di Eulero in avanti e di Eulero all'indietro per approssimare la soluzioney(t)del problema di Cauchy dato. Qual è l'ordine dei due metodi ? b)Determinare per quali valori dihla condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti è soddisfatta, sapendo chepy (t)> e t =2. c)Riscrivere il metodo di Eulero all'indietro sotto la forma un+1= (u n+1; h; t n; u n) e scrivere il metodo delle iterazioni di punto sso per risolvere questa equazione. Per quali valori dih il metodo delle iterazioni di punto sso risulta convergente ? Soluzione 1a)Con la notazione usuale, gli schemi di Eulero in avanti (EA) e di Eulero all'indietro (EI) per il problemadi Cauchy y0 (t) =2y(t) + 2e tpy (t); t2[1;3] y(1) =e 2 sono dati daun+1= u n+ hf n(EA) un+1= u n+ hf n+1(EI) (1) dovef n= f(t n; y n) , conf(t; y) =2y(t) + 2e tpy (t). I due schemi sono entrambi di ordine 1. b)La condizione di stabilità assoluta per il metodo di Eulero in avanti nel caso in cui@ f@ y ( t; y(t))