Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Exercise - 19 - Solution

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MATEMATICA NUMERICA A.A. 2018 - 2019 Ingegneria Matematica Prof. A. Quarteroni Prof. A. Manzoni, Dr. I. Fumagalli Esercitazione 19 - Soluzione Metodi multipasso per eq. di. ordinarie Richiami di teoria Consideriamo il seguente problema di Cauchy : dati un intervalloIR,t 02 I,y 02 R, e una funzione f:IR!R, trovare una funzione realey2C1 (I)tale che (y0 (t) =f(t; y(t)); t2I ; y(t 0) = y 0:(1) Per la sua risoluzione numerica, possiamo introdurre un generico metodo ap+ 1passi lineare, come segue : Denizione 0.1 (Metodo ap+ 1passi lineare)Datiu 0; : : : ; u p, si calcola un+1=p X j=0a ju nj+ hp X j=0b jf nj+ hb 1f n+1; n =p; p+ 1; : : : ; N h 1:(2) Possiamo dunque scrivere il seguente risultato di consistenza per il metodo appena denito : Teorema 1 (Consistenza dei metodi a più passi lineari)Il metodo (2) è consistente se e solo se i)p X j=0a j= 1 ; ii)p X j=0j a j+p X j=1b j= 1 :(3) Inoltre, sey2Cq +1 (I),q1,I= [t 0; t 0+ T], oveyè soluzione di (1), al lora (2) è consistente di ordineq se e solo se, oltre al la (3), sono vericate le seguenti relazioni algebriche, p X j=0( j)i aj+ ip X j=1( j)i 1 bj= 1 ; i= 2; : : : ; q:(4) Per valutare la stabilità del metodo, ci occore denire il concetto di polinomi caratteristici. Si osservi come le soluzioni della formau n= rn dell'equazione alle dierenze (2) sono tali che 0 @rp +1 p X j=0a jrp j1 A |{z} (r) h0 @p X j=1b jrp j1 A |{z} (r)= ( r;h) =(r)h(r) = 0:(5) Chiamiamo,2P p+1rispettivamente il primoesecondo polinomio caratteristicoassociato al metodo (2). Le radici disi indicano semplicemente conr j, j= 0; : : : ; p, dover 0= 1 per la condizione (3)-i. Denizione 0.2 (Condizione delle radici)Il metodo (2) soddisfa lacondizione del le radicise le radici rjsono contenute nel disco unitario, e le radici sul bordo sono semplici : 8 < :j r jj  1j= 0; : : : ; p; jr jj = 1solo se0 (r j) 6 = 0: Teorema 2 (Equivalenza tra zero-stabilità e condizione delle radici)Per un metodo a più passi li- neare consistente, la condizione del le radici equivale al la zero-stabilità.1 La zero-stabilità implica, poi, la convergenza se valgono le ipotesi seguenti : Proposizione 1 (Convergenza) Un metodo a più passi lineare consistente (di ordineq) èconvergente(di ordineq) se e solo se soddisfa la condizione delle radici ed inoltre l'errore sui dati iniziali è anch'esso un innitesimo di ordineqinh, ovvero jy j u jj =O(hq ),j= 0; : : : ; p. Se le richieste sulle radici del polinomio caratteristico sono più strette, si può vericare anche l'assoluta stabilità del metodo in esame. Denizione 0.3 (Condizione assoluta delle radici)Il metodo (2) soddisfa lacondizione assoluta del le radicise esisteh 0> 0tale che jr j( h)j :i) 2 +2 = 0; ii)23  2 2 + 1 + 2  26 4  26 4 = 1 )2 +2 = 0: (8) Quindi perché il metodo sia consistente deve essere2 +2 = 0ovvero sono accettabili i valori 1= 2 e 2= 1 . Studiamo ora ordine e stabilità per i due valori ditrovati.2  = 1= 2 In questo caso il metodo si scrive : un+1=u n3 + 23 u n1+ h 116 f n16 f n1 : Ricordiamo che un metodo ap+ 1passi lineare è di ordineq maxse e solo se vale la (8) ed inoltre sono soddisfatte le seguenti condizioni (Teorema 1) : p X j=0( j)i aj+ ip X j=1( j)i 1 bj= 1 ; i= 2;3; : : : ; q max Nel presente caso :q= 2( 1)2
23 + 2
 (1)
 16  = 1OK q= 3( 1)3
23 + 3
 (1)2
 16  =23 13 6 = 1N O quindi il metodo è di ordine 2. = 2= 1 In questo secondo caso abbiamo : un+1=56 u n+16 u n1+ h 1912 f n512 f n1 : Per quanto concerne l'ordine si ha :q= 21 6 + 2
512 = 1 OK q= 3 16 + 3
 512  6 = 1N O quindi il metodo è di ordine 2. Per analizzare la zero-stabilità del metodo a più passi, dobbiamo studiare le radici del primo polinomio caratteristico (r) =rp +1 p X j=0a jrp j : Nel nostro caso, per i due valori diche danno metodi consistenti, ricordando cher 0= 1 è sempre una radice del primo polinomio caratteristico di ogni metodo consistente (dato che i coecientia jdevono sommare a 1), abbiamo che =2 :(r) =r2 13 r 23 = ( r1)(r+ 2=3) =)r 0= 1 ; r 1= 2=3; = +1 :(r) =r2 56 r 16 = ( r1)(r+ 1=6) =)r 0= 1 ; r 1= 1=6: In entrambi i casi si hajr 1j