Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Integrazione e derivazione numerica

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IndiceIntegrazione numerica................................................................................................................................\ .............. 1 Grado di esattezza................................................................................................................................\ ................1 Formule di Newton-Cotes................................................................................................................................\ ..... 2 Formula del punto medio................................................................................................................................\ .. 2 Errore di quadratura................................................................................................................................\ ...... 2 Formula del trapezio................................................................................................................................\ ......... 2 Errore di quadratura................................................................................................................................\ ...... 2 Formula di Cavalieri-Simpson........................................................................................................................... 2 Errore di quadratura................................................................................................................................\ ...... 3 Sintesi................................................................................................................................\ ............................... 3 Caso generale................................................................................................................................\ .................. 3 Formule di Newton-Cotes composite.................................................................................................................... 3 Formula del punto medio composita................................................................................................................. 3 Errore di quadratura................................................................................................................................\ ...... 3 Formula del trapezio composita........................................................................................................................ 4 Errore di quadratura................................................................................................................................\ ...... 4 Formula di Cavalieri-Simpson composta.......................................................................................................... 4 Errore di quadratura................................................................................................................................\ ...... 4 Ordine di accuratezza................................................................................................................................\ ....... 4 Formule di Gauss................................................................................................................................\ ................. 4 Massimo grado di esattezza............................................................................................................................. 5 Quadratura di Gauss-Legendre........................................................................................................................ 5 Mappa................................................................................................................................\ ........................... 5 Derivazione................................................................................................................................\ ............................... 5 Differenza in avanti................................................................................................................................\ ............... 6 Errore................................................................................................................................\ ................................ 6 Differenza all€indietro................................................................................................................................\ ............ 6 Errore................................................................................................................................\ ................................ 6 Differenza centrale................................................................................................................................\ ................ 6 Errore................................................................................................................................\ ................................ 6 Metodo generale................................................................................................................................\ ................... 6 Differenza centrale del secondo ordine................................................................................................................ 6 Errore................................................................................................................................\ ................................ 7 Integrazione numerica Si approssima la funzione con il polinomio di Lagrange �Pesi: - dipendono solo dai nodi di integrazione. � Grado di esattezza 1 �Errore: Il grado di esattezza ‚ il piƒ grande intero tale che: polinomio di grado r. � Il massimo grado del polinomio integrabile esattamente �g.d.e = massimo ordine di derivazione �Se si usano nodi distinti ‚ almeno pari a n Formule di Newton-CotesNodi equispaziati. Formula del punto medio � Peso: �Nodo: Errore di quadratura Se , allora: Formula del trapezio � Pesi: � Nodi: Errore di quadratura Se , allora: Formula di Cavalieri-Simpson 2 �Pesi: �Nodi: Errore di quadratura Se , allora: Sintesi Caso generale � n pari: g.d.e = �n dispari: g.d.e = n Formule di Newton-Cotes composite1. Si partiziona l€intervallo 2. Si addiziona rispetto all€intervallo di integrazione Formula del punto medio composita Errore di quadratura Se , allora: function I = midpointc(a,b,N,fun) 3 H=(b-a)/N; x=linspace(a+H/2,b-H/2,N); I=H*sum(fun(x)) end Formula del trapezio composita Errore di quadratura Se , allora: function I = trapcomp(a,b,N,fun) H=(b-a)/N; x=linspace(a,b,N); I=(H/2)*sum(fun(x(1:end-1))+fun(x(2:end))) end Formula di Cavalieri-Simpson composita Errore di quadratura Se , allora: function I = simpcomp(a,b,N,fun) H=(b-a)/N; x=linspace(a,b,N+1); I=H/6*sum(fun(x(1:end-1)) + 4*fun((x(2:end)+x(1:end-1))*0.5)+fun(x(2:end)));end Ordine di accuratezzaIl grado di H nella formula dell€errore. Formule di GaussNodi non equispaziati. ‚ una famiglia di polinomi con grado i, tutti ortogonali tra loro secondo il prodotto scalare indotto da . 4 Tale polinomio esiste e ammette per ogni n, n zeri distinti in . Massimo grado di esattezza Il massimo grado di esattezza ‚ . „ possibile realizzarlo se e solo se si prendono gli nodi come zeri della funzione . I nodi sono sempre interni e concentrati verso gli estremi. Quadratura di Gauss-LegendreI polinomi di Legendre sono ortogonali sull€intervallo , rispetto alla funzione peso . con radici del polinomio di Legendre di grado . Mappa function y = mapfrom11(x,a,b) y = (x)*(b-a)/2 + (a+b)/2; end Derivazione 5 Differenza in avanti Errore Sia Accurato al primo ordine Differenza all€indietro Errore Sia Accurato al primo ordine Differenza centrale Errore Sia Accurato al secondo ordine Metodo generaleSi divide l€intervallo con nodi , dove , e con . Differenza centrale del secondo ordine 6 Errore Sia 7