Mathematical Engineering - Matematica Numerica

Interpolazione

Divided by topic

IndiceInterpolazione di Lagrange................................................................................................................................\ ....... 1 Teorema di esistenza e unicit… dell€interpolazione polinomiale.........................................................................1 Costruzione della base di Lagrange................................................................................................................. 1 Polinomio nodale................................................................................................................................\ .............. 1 Errore d€interpolazione................................................................................................................................\ ......1 Analisi di stabilit… dell€interpolazione di Lagrange................................................................................................ 2 Costante di Lebesgue per un set di nodi.......................................................................................................... 2 Interpolazione composita e nodi non equispaziati.................................................................................................... 2 Interpolazione composita................................................................................................................................\ ......2 Errore di stima per l€interpolazione composita.................................................................................................. 2 Nodi non equispaziati su ................................................................................................................................\ ......2 Estremi inclusi: Chebyshev-Gauss-Lobatto...................................................................................................... 3 Estremi inclusi: Chebyshev-Gauss................................................................................................................... 3 Traslazione su intervallo ................................................................................................................................\ ...3 Approssimazione ai minimi quadrati......................................................................................................................... 3 Retta di regressione lineare ................................................................................................................................\ . 3 Approssimazione per ................................................................................................................................\ ....... 3 Interpolazione di Lagrange Per polinomi di grado n: Teorema di esistenza e unicit� dell€interpolazione polinomiale Dati punti distinti e valori corrispondenti , allora esiste e ‚ unico il polinomio tale che: Costruzione della base di Lagrange Polinomio nodale Siano i nodi polinomiali. Allora la base di Lagrange pu† essere riscritta come: Il polinomio d€interpolazione diventa quindi: Errore d€interpolazione 1 Siano nodi distinti e sia x un punto all€interno del dominio di una data funzione f. �Si assume , dove I ‚ il piƒ piccolo intervallo che contiene i nodi e x � L€errore d€interpolazione nel punto x ‚ dato da: Analisi di stabilit� dell€interpolazione di Lagrange Perturbando poco la funzione data quasi mai la perturbazione del polinomio interpolante ‚ minima. Spesso ‚ una grande differenza. Costante di Lebesgue per un set di nodi Siano un polinomio di grado n e un set di nodi si ha la costante di Lebesgue: Tale costante dipende solo dai nodi ed ‚ l€equivalente del numero di condizionamento: la perturbazione sar… piccola se la costante sar… piccola. N.B.: per nodi equispaziati la costante cresce esponenzialmente: . � I nodi equispaziati si usano solo per n piccolo. Interpolazione composita e nodi non equispaziatiInterpolazione composita Anzich‡ interpolare con un unico polinomio di grado molto alto, si partizionano i nodi creando sottintervalli di lunghezza He si esegue l€interpolazione Lagrangiana con un polinomio di grado piccolo. Errore di stima per l€interpolazione composita Sia e la sua interpolazione composita , allora: � „ quindi possibile ridurre l€errore a 0 riducendo la lunghezza dell€intervallo H a zero. �Per di ha Nodi non equispaziati su 2 Estremi inclusi: Chebyshev-Gauss-Lobatto Estremi inclusi: Chebyshev-Gauss Traslazione su intervallo Approssimazione ai minimi quadrati In caso di n molto grande, si preferisce trovare un polinomio con che minimizzi il residuo. Se tale polinomio esiste ‚ detto polinomio di interpolazione nel senso dei minimi quadrati. �Se il polinomio coincide con il polinomio di Lagrange �Se non ‚ possibile garantire che il polinomio passi esattamente per il data set Retta di regressione lineare La matrice ‚ simmetrica e definita positiva, quindi esiste ed ‚ unica la soluzione. Approssimazione per 3 La matrice ‚ simmetrica e definita positiva, quindi esiste ed ‚ unica la soluzione. 4