Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 23/9/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SiaXN(1;1). Sia poiWuna variabile aleatoria tale che WN(0;2); Windipendente daX: Sia inneY=2X+ 3 +W: (a) Calcolare media e varianza diY. (b) Trovare la legge congiunta diXeY. (c) Trovare la legge congiunta diX,YeW. Dire se tale legge ammette densita, giusti- cando la risposta. Siano oraX 1e Y 1variabili aleatorie aventi la stessa legge congiunta di XeY. (d) CalcolareE(Y 1j X 1= x) eE(Y 1j X 1). (e) PostoW 1= Y 1 E(Y 1j X 1), si provi che risulta W1 N(0;2); W 1indipendente da X 1; e ancheY1= 2X 1+ 3 + W 1: Soluzione (sintetica). (a)E Y= 1,V ar Y= 6. (b) Congiuntamente normali con media e varianza 1 1! ; 12 2 6! :(1) (c) Congiuntamente normali con media e varianza0 B @1 1 01 C A;0 B @1 2 0 2 6 2 0 2 21 C A: La densita non esiste perche la varianza e singolare.1 (d) Sia ora ( X 1; Y 1) gaussiano con media e varianza date da (1). In base alla nota formula per le medie condizionate nel caso gaussiano si trovaE(Y 1j X 1= x) =2x+ 3 da cui E(Y 1j X 1) = 2X 1+ 3. (e) E' chiaro dal punto precedente cheY 1= 2X 1+ 3 + W 1. Procedendo come al punto 1 si trovaE W 1= 0, V ar W 1= 2. Inne W 1e indipendente da X 1per la gaussianita e percheC ov(X 1; W 1) = 0. 2 2. Si consideri la funzione di massa di probabilita f(x) = e 2 2 xx !; x = 0;1;2; : : : dove >0 e un parametro reale. (a) Riconoscere la distribuzione corrispondente e scriverne la media in funzione di. SiaX kuna successione di varabili aleatorie i.i.d. con tale distribuzione, siaX nla media campionaria delle primene siaT n=qX n. (b) Studiare la convergenza quasi certa, in probabilita e in legge diT n. (c) Studiare l'asintotica normalita diT n. Si supponga ora ignoto il valore del parametro. (d) Partendo daT ncostruire un intervallo di condenza asintotico di livello 0 :95 per. Soluzione (sintetica). (a) E' una Poissoniana di parametro2 , avente pertanto anche la media pari a2 . (b)X n! 2 quasi certamente per la Legge dei Grandi Numeri. Pertanto, essendo la radice una funzione continua,T n=qX n! q.c., in probabilita e in legge. (c)X n AN 2 ; 2 =n
per il Teorema Centrale del Limite. Applicando il Metodo Delta si ottieneT n=qX n AN(;1=(4n)). (d)T n12 pn z 0:025= T n0 :98p n . 3 3. Sia (X; Y) un vettore aleatorio continuo di densita f(X;Y)( x; y) =(x+y)2 I[1;1]2 ( x; y); dovee un parametro reale. (a) Determinare i possibili valori di. (b) Determinare la densita marginale diXe tracciarne un graco qualitativo. (c) Determinare la densita condizionata diYdatoX=xe tracciarne un graco qualitativo. (d)XeYsono indipendenti? Sia (Z; W) = X+Yp 2 ; X Yp 2  . (e) Mostrare che (Z; W) e un vettore aleatorio continuo, determinarne la densita e dise- gnarne il supporto. (f )ZeWsono indipendenti? Soluzione (sintetica). (a)f (X;Y) 0)0. Inoltre 1 =Z R2f (X;Y)( x; y) dxdy=Z [1;1]2 (x+y)2 dxdy= 4Z 1 1x 2 dx=83  )= 3=8: (b)f X( x) =Z Rf (X;Y)( x; y) dy=14  1 + 3x2 I[1;1]( x). (c) Per1< x