Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 2/5/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2corso da 10 crediti;2corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilita (per Ing. Mat)). I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Un'urna contiene una pallina rossa ed una bianca. Le palline vengono estratte con reimmissione e con rinforzo delle sole rosse. Precisamente: una pallina viene estratta a caso; se e bianca viene semplicemente rimessa nell'urna, mentre se e rossa la pallina viene rimessa nell'urna insieme ad un'altra rossa. Si calcolino le seguenti probabilita: (a) che la prima pallina estratta sia bianca, (b) che la seconda pallina estratta sia bianca, sapendo che la prima e bianca, (c) che la seconda pallina estratta sia bianca, (d) che almeno una delle prime due estratte sia bianca,(e) che la prima pallina sia bianca, sapendo che la seconda e bianca, (f ) che le primenpalline estratte siano tutte bianche, (g) che le primenpalline estratte siano tutte rosse, (h) che le palline estratte siano tutte bianche,(i) che le palline estratte siano tutte di uno stesso colore. Soluzione.Siano Bk= la k-esima pallina estratta e bianca; Rk= la k-esima pallina estratta e rossa =Bc k: Allora: (a)P(B 1) = 1 =2, (b)P(B 2j B 1) = 1 =2, (c)P(B 2) = P(B 2j B 1) P(B 1) + P(B 2j R 1) P(R 1) =12 12 + 13 12 = 512 , (d)P(B 1[ B 2) = P(B 1) + P(B 2) P(B 1; B 2) = P(B 1) + P(B 2) P(B 2j B 1) P(B 1) = 12 + 512 12 12 = 23 , (e)P(B 1j B 2) =P (B 2j B 1) P(B 1)P (B 2)= 35 , 1 (f ) P(B 1; : : : ; B n) = P(B nj B n1; : : : ; B 1)


P(B 2j B 1) P(B 1) =12 n, (g)P(R 1; : : : ; R n) = P(R nj R n1; : : : ; R 1)


P(R 2j R 1) P(R 1) =nn + 1


23 12 = 1n + 1, (h)P 1 \ k=1B k! = limn!1P n \ k=1B k! = limn!112 n= 0, (i)P 1 \ k=1R k [ 1 \ k=1B k ! =P 1 \ k=1R k! +P 1 \ k=1B k! = limn!1P n \ k=1R k! + 0 = lim n!11n + 1+ 0 = 0. 2 2. Una confezione di palle da biliardo ne contienek, numerate da 1 ak. Queste vengono ripartite in modo casuale franscatole, numerate da 1 an. I possibili esiti dell'operazione sono quindi dati dai vettori!= (s 1; : : : ; s k), dove s `2 f 1; : : : ; nge la scatola dove viene riposta la palla`. (a) Qual e la cardinalita dello spazio campionario formato da tutti gli esiti possibili? Si supponga che l'operazione di ripartizione renda equiprobabili gli esiti!. (b) Si calcoli la probabilita che le palle vengano riposte tutte nella scatola 1.(c) Si calcoli la probabilita che le palle vengano riposte tutte in una stessa scatola. (d) Si calcoli la probabilita che le palle vengano riposte tutte in scatole diverse.(e) Si mostri che, per ogni palla da biliardo, la selezione della scatola dove riporla eequiprobabile fra lenscatole a disposizione. Soluzione. (a) =f1; : : : ; ngk per cuij j=nk . (b)P(tutte le palle nella scatola 1) =P(f(1; : : : ;1)g) =1n k. (c) P(tutte le palle in una stessa scatola) =P n [ s=1(tutte le palle nella scatola s)! =n X s=1P (tutte le palle nella scatolas) =n1n k=1n k 1: (d)P(tutte le palle in scatole diverse) =( 0;sen < k; n
(n1)


(nk+1)n k ; senk: (e) Gli esiti che corrispondono alla selezione della scatolamper la palla`sono gli!che hanno in posizione`il valores `= m; il loro numero e pertantonk 1 . Percio P(pallamnella scatola`) =n k 1n k=1n : 3 3. SianoX; Yvariabili aleatorie reali soddisfacenti Y=11 + X4: Si supponga dapprima cheXabbia legge esponenziale di parametro >0. (a) Mostrare cheYe una variabile aleatoria assolutamente continua e trovarne la densita. (b) Calcolare la probabilita che risultiY1=2. Si supponga ora cheXabbia legge normale standard. (c) Mostrare cheYe una variabile aleatoria assolutamente continua e trovarne la densita. (d) Trovare la mediana diY, esprimendone il valore mediante opportuni punti percentuali della legge normale standard. Soluzione. (a) La funzioney=g(x) = 1=(1 +x4 ) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra (0;1) e (0;1), con inversa x=h(y) =4 s1 y 1: Per un noto risultato, usando le solite notazioni,Yammette densita data da fY( y) = 1 (0;1)( y)f X( h(y))jh0 (y)j= 1 (0;1)( y)exp 4 s1 y 1! 14  1y 1 3=4 1y 2: Allo stesso risultato si poteva arrivare calcolando la funzione di ripartizione diY, in modo simile al successivo punto (c). (b) La disuguaglianzaY1=2 equivale aX4 1. PoicheXprende valori positivi quasi certamente, P(Y1=2) =P(X4 1) =P(X1) =e  : (c) Calcoliamo la funzione di ripartizioneF Ydi Y. Osservando che 0< Y