Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 23/1/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti:2 I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SianoX; Yvariabili aleatorie reali che ammettono densita congiunta f(x; y) =8 < :e xx ; per 0< y < x; 0;altrove; dove >0 e un parametro. (a) CalcolareE[X e Y ]. (b) Trovare le leggi marginali diXeY(lasciare indicati eventuali integrali non calcolabili elementarmente). (c) Trovare la legge condizionata diYdatoX=x. (d) Calcolare il valore atteso condizionato diYdatoX=x. (e) Calcolare il valore atteso diY. Soluzione. (a)E[X e Y ] =Z R2xe y f(x; y)dxdy=Z 1 0e yZ 1 ye x dx dy=11 + : (b)fX( x) =Z Rf (x; y)dy= 1 (0;1)( x)Z x 0e xx dy = 1 (0;1)( x)e x ; cioeXha legge esponenziale di parametro. fY( y) =Z Rf (x; y)dx= 1 (0;1)( y)Z 1 ye xx dx: (c) Perx >0 tale legge e quella che ammette densita fYjX( y; x) =8 < :e xx
1e x=1x ; per 0< y < x; 0;altrove;9 = ;=1x 1 (0;x)( y); cioe la legge uniforme sull'intevallo (0; x). Perx0 la densita condizionale e arbitraria. (d) Perx >0,E[YjX=x] =1x R x 0ydy =x=2. (e)E[Y] =Z RE [YjX=x]f X( x)dx=Z 1 0x2 e x dx=12 : 1 2. SiaXuna variabile aleatoria con leggeBeta(; ), cioe con densita continua f(t) =( +)( )()t  1 (1t) 1 1(0;1)( t); t2R; dove >0, >0 sono due parametri e e la funzione Gamma di Eulero. Si trova E X= +; V ar X =( +)2 (++ 1): a) Per >1, >1 si trovino tutte le eventuali mode diX. Presi due numeri realic; d(c6 = 0) si deniscaY=cX+d. b) CalcolareE(Y),V ar Y,E(Y2 ). c) Trovare il supporto e la densita continua diY. Sia oraXBeta(2;2),Y= 4X+ 3. d) CalcolareP(Y >5). e) CalcolareP(Y >6). Soluzione(sintetica). a) Calcolando la derivataf0 (t) pert2(0;1) si trova che e positiva per t < t0:= 1 +22 (0;1); negativa pert > t 0Pertanto t 0e l'unica moda. b)E Y=c ++ d, V ar Y=c2 ( +)2 (++ 1); E (Y2 ) =V ar Y+ (E Y)2 : c)Yha come supportoSl'intervallo (d; d+c), sec >0, o l'intervallo (d+c; d), sec 5) = 1=2 per simmetria della distribuzione attorno al suo valor medioE Y= 5. e) P(Y >6) =P(X >3=4) =Z 1 3=4(4)(2)(2) t (1t)dt= 6Z 1 3=4t (1t)dt=532 : 2 3. SianoX nvariabili aleatorie con legge di Poisson di parametro n. a) Calcolare la funzione caratteristica di (X n n)=pn . b) Dimostrare che (X n n)=pn !N(0;1) in legge . c) Mostrare che la successioneY n=X nn converge in legge verso una costante e deter- minarla. d) Mostrare cheY ne asintoticamente normale e trovare la velocita di convergenza di Y n verso la costante. e) Trovare il limite in legge di 2 logY n, mostrare che e asintoticamente normale e deter- minarne la velocita di convergenza. [Si ricorda che la funzione caratteristica di una variabileXdi Poisson con parametro  >0 e X( u) =e (eiu 1) ]. Soluzione.a) (u) =E[eiu X n np n ] =e iupn Xn(up n ) = e iupn en (ei up n 1) : b) Con lo sviluppo di MacLaurinei up n = 1 +iup n 12 u 2n + o(1n ) si ottiene (u)!e u2 =2 , e la conclusione segue dal teorema di Levy.c)Y n=X n np n 1p n + 1 !1 =in legge per il teorema di Slutsky. d)pn (Y n 1) =X n np n ! ZN(0;1) e pertantoY ne asintoticamente normale con velocita di convergenzapn . e) Si applica il metodo delta alla funzionef(x) = 2 logxottenendo pn (2 logY n) =pn (f(Y n) f())!f0 ()Z= 2ZN(0;4) in legge. Percio 2 logY ne asintoticamente normale, 2 log Y n! 0 in legge con velocita di convergenzapn . 3