Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 2/5/2012. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Un’urna viene riempita con 3 palline bianche, 5 rosse e 7 nere. Vengono estratte simultaneamente 2 palline. Quindi, se queste hanno colore diverso, vengono semplicemente rimesse nell’urna, se invece hanno lo stesso colore, vengono buttate via. L’urna viene poi rimescolata e si riestraggono simultaneamente 2 palline. Si calcolino le probabilit`a dei seguenti eventi: (a) alla prima estrazione 2 palline bianche, (b) alla prima estrazione 2 palline dello stesso colore, (c) nelle due estrazioni 4 palline tutte bianche, (d) nelle due estrazioni 4 palline tutte dello stesso colore, (e) alla seconda estrazione 2 palline dello stesso colore, sapendo che alla prima estrazione sono uscite 2 palline bianche, Soluzione.Siano: • Bk= 2 palline bianche all’estrazione k, • Rk= 2 palline rosse all’estrazione k, • Nk= 2 palline nere all’estrazione k, • Ek= B k∪ R k∪ N k= 2 palline dello stesso colore all’estrazione k, per cui, per ognik, gli eventiB k, R k, N k, Ec kdanno una partizione dello spazio campionario. (a) P(B 1) =( 3 2) (15 2) =3 105= 0 .0286, (b) P(E 1) = P(B 1) + P(R 1) + P(N 1) =( 3 2) (15 2) +( 5 2) (15 2) +( 7 2) (15 2) =3 + 10 + 21 105= 0 .3238, (c) P(B 1, B 2) = P(∅) = 0, (d) P(B 1, B 2) + P(R 1, R 2) + P(N 1, N 2) =P(B 2| B 1) P(B 1) + P(R 2| R 1) P(R 1) + P(N 2| N 1) P(N 1) =0 (13 2)( 3 2) (15 2) +( 3 2) (13 2)( 5 2) (15 2) +( 5 2) (13 2)( 7 2) (15 2) =3 ∗10 + 10∗21 78∗105= 0 .0293, (e) P(E 2| B 1) =( 5 2) + (7 2) (13 2)= 10+21 78= 0 .3974. 1 2. I puntiNrealizzati dai Caprica Buccaneers in una partita di Piramid hanno distri- buzione di Poisson di mediaλ. Vi propongono di scommettere contro i Caprica Buccaneers alla prossima partita: a fronte di una vostra puntata unitaria riceverete un ricavo pari a R=7 3N, guadagnando quindiG=R−1. (a) Trovare la distribuzione del ricavoRin funzione diλ. (b) Trovare il ricavo atteso in funzione diλ. Si supponga che la scommessa proposta sia equa.(c) Quanti punti a partita segnano mediamente i Caprica Buccaneers? (d) Con quale probabilit`a otterrete il ricavo massimo? (e) Con quale probabilit`a non perderete soldi? (f ) Qual `e il ricavo pi`u probabile? Soluzione. (a) R`e variabile aleatoria discreta che assume i valorir= 7/3k ,k= 0,1, . . .con probabilit`a P( R=7 3k) = e λk k! (b) ER=1 ∑ k=07 3ke λk k!= 7 e 2=3 . (c) ER= 1⇐⇒EN=λ=3 2log 7 = 2 .9189. (d) R`e massimo, ovveroR= 7, quandoN= 0, per cui P(R= 7) =P(N= 0) = e  = 0.0540 (e) P(G≥0) =P(R≥1) =P( 7 3N≥ 1) =P(N≤1.7712) = e  (1 +λ) = 0.2116. (f ) Nha un’unica moda pari a [ λ] = 2 per cui il ricavo pi`u probabile `e 7 /32 = 0. 7778< 1. 2 3. La misura analogica di una certa grandezza `e descritta come una variabile aleatoria realeXcon funzione di ripartizioneF. Il valore diX`e trasmesso attraverso un canale di comunicazione che ne tronca il valore quando questo supera una certa sogliaαoppure quando `e inferiore al suo opposto−α(α >0 `e un numero noto). Il valore della misura ricevuto dopo la trasmissione `e pertanto una diversa variabile aleatoriaX legata alla precedente, per ogni esitoω∈Ω, dalla formula X( ω) =  α, seX(ω)≥α, X(ω),se−α≤X(ω)≤α, −α,seX(ω)≤ −α. (a) Calcolare la funzione di ripartizioneF di X esprimendola mediante la funzione F. (b) Calcolare la probabilit`a cheX = −αe la probabilit`a cheX = αesprimendole me- diante la funzioneF. Da ora in poi si supponga anche cheXabbia legge esponenziale di parametroλ >0. (c) CalcolareF e disegnarne il grafico. (d) X`e una variabile assolutamente continua? E’ una variabile discreta? (e) Mostrare che risultaX = ϕ ( X) per un opportuna funzioneϕ ( x),x∈R, calcolando la funzioneϕ e disegnandone un grafico. Si calcoli quindi la media E(X ) di X . (f ) Si calcolino i limiti diE(X ) al tendere di αverso 0 e verso +∞, discutendo il risultato. Soluzione(sintetica). (a) F( x) =  0 ,sex