Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 21/9/2012. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Il nuovo calorimetro progettato dal Dr. Slump per misurare l’energia sprigionata da una reazione chimica introduce un errore casualeϵcon distribuzione di Laplace a media nulla, ovvero una variabile aleatoria assolutamente continua con densit`a “doppio esponen- ziale” del tipofϵ( y) =ce λjyj . (a) Per qualiλecla funzionef ϵ`e effettivamente una densit`a di probabilit`a? Trovare cin funzione diλ. (b) Determinare la varianzaσ2 =E[ϵ2 ] e il momento quartoE[ϵ4 ] dell’errore in funzione di λ. [Suggerimento: pu`o essere utile sapere che∫ 1 0y2 e λy dy= 2/λ3 ,∫ 1 0y4 e λy dy= 24/λ5 .] Il Dr. Slump vuole inferire suλ, da cui dipendono le caratteristiche del calorimetro. L’erroreϵper`o, come ogni errore che si rispetti, non `e osservabile. Dettaµl’energia (inco- gnita e deterministica) sprigionata da una reazione chimica, consideriamo quindi il risultato di una misura X=µ+ϵ. (c) Determinare la distribuzione diXe tracciare un grafico qualitativo della sua densit`a. (d) Determinare la media, la varianza e il momento quarto centratodella misuraX. Si considerino oranmisure indipendentiX 1, . . . , X ndi µeffettuate col calorimetro. (e) Provare che la varianza campionariaS2 nha legge asintotica S2 n∼ AN( 2 λ2,20 n λ4) . (f ) Proporre uno stimatoreb λnper λbasato suS2 nin modo che risulti consistente, cio`e b λn→ λin probabilit`a. (g) Determinare la legge asintotica dib λn. (h) Proporre un intervallo di confidenza asintotico di livello 1−αperλbasato sub λn. 1 Soluzione (sintetica). (a)fϵ( y)≥0 e∫ +1 1f ϵ( y) dy= 1 se e solo sec=λ/2, conλ >0. (b) σ2 =E[ϵ2 ] =∫ +1 1y 2 fϵ( y) dy= 2/λ2 ,E[ϵ4 ] =∫ +1 1y 4 fϵ( y) dy= 24/λ4 . (c) La densit`a diX`ef X( x) =f ϵ( x−µ) =λ 2e λjxµj . (d) E[X] =µ+E[ϵ] =µ, Var[X] = Var[ϵ] =σ2 = 2/λ2 ,E[(X−µ)4 ] =E[ϵ4 ] = 24/λ4 . (e) Dalla teoria `e noto che risulta√ n(S2 n− σ2 )→N(0,E[(X−µ)4 ]−σ4 ) =N( 0,20 λ4) e si conclude cheS2 n≃ AN( 2 λ2,20 n λ4) . (f ) Poich´eX∈L2 `e noto dalla teoria cheS2 n→ σ2 q.c. Ponendob λn=√ 2 S2 nrisulta pertantob λn=√ 2 S2 n→√ 2 σ2= λq.c. e quindi anche in probabilit`a. (g) Poich´eb λn= ϕ(S2 n) dove ϕ(x) =√ 2/x, applicando il metodo delta alla funzioneϕsi trovab λn≃ AN( λ,5 4nλ 2) . (h) Poich´e√ nb λn λ √ 5λ2 /4→ N(0,1) in legge, dal teorema di Slutsky segue che √ nb λn− λ √ 5b λ2 n/ 4= √ nb λn− λ √ 5λ2 /4λ b λn→ N(0,1) grazie al fatto cheλ n→ λin probabilit`a. Pertanto l’intervallo cercato ha la forma b λn±√ 5 4nb λnz α/2. 2 2. SiaYuna variabile aleatoria distribuita uniformemente sull’insieme{1,2,3}. Sia Xun’altra variabile aleatoria, la cui legge condizionata datoY=j`e la distribuzione di Poisson con parametroj(in simboli:X|Y=j∼P oisson(j), perj= 1,2,3). (a) CalcolareE(X). (b) Calcolare la legge congiunta diXeY. (c) Calcolare la legge diX. (d) Calcolare la legge diYcondizionata aX=i, peri≥0 intero. (e) CalcolareE(Y|X=i). (f ) CalcolareE(Y|X). 3 Soluzione.RisultaP(Y=j) = 1/3,P(X=i|Y=j) =e jji i!, E(X|Y=j) =j, per i≥0 intero e perj= 1,2,3. (a) E(X) =3 ∑ j=1E (X|Y=j)P(Y=j) =3 ∑ j=1j 1 3= 2. (b) P(X=i, Y=j) =P(X=i|Y=j)P(Y=j) =e jji i!1 3. (c) P(X=i) =3 ∑ j=1P (X=i, Y=j) =1 3i!( e 1 + 2i e 2 + 3i e 3 ). (d) P(Y=j|X=i) =P (X=i, Y=j) P(X=i)= e j ji e 1 + 2i e 2 + 3i e 3. (e) E(Y|X=i) =3 ∑ j=1j P (Y=j|X=i) =e 1 + 2i +1 e 2 + 3i +1 e 3 e 1 + 2i e 2 + 3i e 3. (f ) E(Y|X) =e 1 + 2X +1 e 2 + 3X +1 e 3 e 1 + 2X e 2 + 3X e 3. 4 3.SiaX= X 1 X2 X3 un vettore aleatorio gaussiano avente mediame varianzaQdate dam= − 4 0 2 , Q= 1 0 −2 0 1−2 −2−2 8 . (a) Trovare la legge del vettore( X1 X3) . (b) Stabilire se il vettore( X1 X3) `e assolutamente continuo e in tal caso calcolarne la densit`a. (c) Stabilire se il vettoreX`e assolutamente continuo e in tal caso calcolarne la densit`a. (d) Calcolare la funzione caratteristica del vettoreX. (e) Trovare la legge condizionata diX 3dato X 1= x 1. (f ) Trovare la legge condizionata diX 3dato( X1 X2) =( x1 x2) . 5 Soluzione. (a)Il vettore( X1 X3) `e gaussiano con media e varianza m1=( −4 2) , Q1=( 1−2 −2 8) . (b) Poich´e detQ 1= 4 ̸ = 0 il vettore `e assolutamente continuo. Poich´eQ 1 1=1 4( 8 2 2 1) il vettore ammette densit`af(x 1, x 3) =1 4πexp( −1 8( 8(x 1+ 4)2 + 4(x 1+ 4)( x 3− 2) + (x 3− 2)2 )) . (c) Risulta detQ= 0 e pertantoXnon `e assolutamente continuo. (d) ϕ(u 1, u 2, u 3) = exp( −4iu 1+ 2 iu 3−1 2( u2 1+ u2 2+ 8 u3 3− 4u 1u 3− 4u 2u 3) ) . (e) Considerando il vettore del punto (a) si conclude che tale legge condizionata `e gaussiana N( ˆµ(x 1) ,ˆ σ2 ) con ˆµ(x 1) = 2 −2(x 1+ 4) = −2x 1− 6 e ˆσ2 = 4. (f ) Tale legge condizionata `e gaussianaN( ˆm(x 1, x 2) ,ˆ Q) con media ˆ m(x 1, x 2) = 2 +( −2−2) ( 1 0 0 1) 1( x1+ 4 x2) =−6−2x 1− 2x 2 e varianzaˆ Q= 8−( −2−2) ( 1 0 0 1) 1( −2 −2) = 0. Il fatto cheˆ Q= 0 indica che tra le componenti diXsussiste la relazione di tipo lineare X3= −6−2X 1− 2X 2quasi certamente, in accordo col fatto che Xnon ammette densit`a. 6