Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 10/5/2013. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Abbondio e Bartolomeo stanno per giocare aLupus in Tabulacon degli amici. In tutto sarannongiocatori e, ad ogni partita, i ruoli saranno distribuiti segretamente e ca- sualmente distribuendo ai giocatori tutte le carte di un mazzo, opportunamente rimescolato, contenente 2 lupi mannari en2 villici. Determinare le seguenti probabilit`a in funzione di n3, calcolandole poi esplicitamente nei casin= 3 edn= 10: (a) la probabilit`a che Abbondio sia sempre lupo mannaro nelle prime due partite, (b) la probabilit`a che Abbondio sia lupo mannaro la seconda partita, sapendo che `e stato lupo mannaro la prima, (c) la probabilit`a che Abbondio e Bartolomeo siano entrambi lupi mannari in entrambe le prime due partite, (d) la probabilit`a che un qualche giocatore sia sempre lupo mannaro nelle prime due partite, (e) la probabilit`a che un qualche giocatore sia sempre lupo mannaro nelle prime tre partite. Soluzione.Siano:  Ak= Abbondio lupo mannaro alla partita k,k= 1;2;3:  Bk= Bartolomeo lupo mannaro alla partita k,k= 1;2;3:  C= un qualche giocatore risulta sempre lupo mannaro nelle prime due partite  D= un qualche giocatore risulta sempre lupo mannaro nelle prime tre partite  E= alla prima partita i lupi mannari sono la coppia  I ruoli vengono distribuiti casualmente per cui ad ogni partita ho equiprobabilit`a fra gli esiti elementari. Il mazzo viene ogni volta mescolato per cui ho indipendenza fra gli eventi di partite differenti. 1. P(A 1; A 2) = P(A 1) P(A 2) =( 2 n) 2 ={ 4=9 = 0:4444; n= 3; 1=25 = 0:04; n= 10: 2. P(A 2j A 1) = P(A 2) =2 n={ 2=3 = 0:6667; n= 3; 1=5 = 0:2; n= 10: 3. P(A 1; A 2; B 1; B 2) = P(A 1; B 1) P(A 2; B 2) =1 (n 2)
1 (n 2)={ 1=9 = 0:1111; n= 3; 1=452 = 0:0005; n= 10: 1 4. P(C) = 1P(Cc ) ={ 1;n= 3; 1∑ P (Cc jE ) P(E ) ; n4; Per simmetria,∑ P (Cc jE ) P(E ) = P(Cc jA 1; B 1), da cui P(C) = 1P(Cc ) =  1 ;n= 3; 1( n 2 2) (n 2); n 4;={ 1;n= 3; 17=45 = 0:3778; n= 10: 5. P(D) =∑ P (DjE ) P(E ) = P(DjA 1; B 1) = P( (A 2\ A 3) [(B 2\ B 3)  A 1; B 1) =P( (A 2\ A 3) [(B 2\ B 3)) =P(A 2; A 3) + P(B 2; B 3) P(A 2; A 3; B 2; B 3) = 2( 2 n) 2 ( 1 (n 2)) 2 = 2( 2 n) 2 ( 2 n(n1)) 2 =8( n1)2 4 n2 (n1)2={ 0:7778; n= 3; 0:0795; n= 10: 2 2. SiaXuna variabile aleatoria con legge esponenziale di parametro >0. SiaY=eX . (a)Stabilire per quali valori dip1 si haX2 Lp . Calcolare poi la media diY. (b) Calcolare la funzione di ripartizione diYe disegnarne il grafico. (c) Stabilire seYammette densit`a e in tal caso calcolarla e disegnarne il grafico. Sia oraZ={ XseX 1, mentre P(Yy) = 0 pery1. (c) Poich´eF Y`e continua ed `e di classe C1 a tratti, la densit`af Yesiste e si ottiene derivando FY: f Y( y) = 1 (1;1)( y)y 1 . (d) FZ( z) =P(Zz) =      0 sez 1; P(zX