Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 23/9/2013. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SiaXuna variabile aleatoria che pu`o prendere i valori interik1 e che soddisfa P(Xk) =1 k, k 1, doveα >0 `e un parametro reale. (a) Calcolare la funzione di massa di probabilit`a diX. (b) Calcolare la funzione di ripartizione diX, disegnandone un grafico qualitativo. (c) Perα= 1, calcolare il valore atteso diX. Si supponga da ora in poiα= 1. SiaYun’altra variabile aleatoria, indipendente daXma con la stessa legge. (d) Calcolare la funzione di massa di probabilit`a diM= min(X, Y). (e) Calcolare la funzione di massa di probabilit`a del vettore (X, X+Y). Soluzione. (a) Perk1, P(X=k) =P(Xk)P(Xk+ 1) =1 k1 (k+ 1). (b) Si haF(t) =P(Xt) = 0 pert Y , Y=k) +P(X=Y , X=k) =P(k < Y , X=k) +P(X > k, Y=k) +P(X=k, Y=k) =P(Y > k)P(X=k) +P(X > k)P(Y=k) +P(X=k)P(Y=k) = 21 k+ 1( 1 k 1 k+ 1) +( 1 k 1 k+ 1) 2 =2 k+ 1 k2 (k+ 1)2. 1 (e)Per j > k1, P(X=k, X+Y=j) =P(X=k, Y=jk) =P(X=k)P(Y=jk) =( 1 k 1 k+ 1) ( 1 jk 1 jk+ 1) =1 k(k+ 1)(jk)(jk+ 1). 2 2.SiaZ=( Z1 Z2) un vettore aleatorio gaussiano con media nulla e varianza Q=( 2 1 1 1) . Sia inoltreX= X 1 X2 X3 definito dalle uguaglianze X1= Z 2 1X 2= Z 1 2Z 2X 3= 3 Z 1. (a) Calcolare gli eventuali valori del parametro realeaper cuiaZ 1 Z 2`e indipendente da X1. (b) Scrivere la funzione caratteristica del vettore( Z1 1 Z2+ 3) . (c) Trovare la legge del vettoreX. (d) Trovare la legge diX 2 2 2+ X 2 3 18. Soluzione. (a) Trattandosi di variabili congiuntamente gaussiane `e sufficiente imporre che siano incor- relate: C ov(aZ 1 Z 2, X 1) = C ov(aZ 1 Z 2, Z 2) = aC ov(Z 1, Z 2) V ar(Z 2) = a1 = 0,)a= 1. (b) Tale vettore ha la stessa varianza diZe media( 1 3) . Perci`o ϕ(u, v) = exp( i(u+ 3v)1 2(2 u2 + 2uv+v2 )) . (c) RisultaX=AZ+b, dove b=  1 0 0 , 0 1 12 3 0 . Perci`oX`e gaussiano con media e varianza b=  1 0 0 , AQAT = 1 1 3 1 2 0 3 0 18 . (d) Dal punto precedente segue cheX 2 p 2 N(0,1),X 3 p 18 N(0,1) e tali variabili sono indipendenti perch´e congiuntamente gaussiane eC ov(X 2, X 3) = 0. Pertanto X2 2 2+ X 2 3 18=( X2 p 2) 2 +( X3 p 18) 2 ha leggeχ2 con 2 gradi di libert`a, per definizione di tale legge. 3 3. (Valutazione di un'opzione \call" europea.)Un agente finanziario sottoscrive un contratto che gli d`a il diritto (ma non l’obbligo) di acquistare un certo titolo ad una data futura fissata, ad un prezzok >0 anch’esso fissato. Il prezzo di mercato del titolo in quella data `e modellizzato come una variabile aleatoria della formayexp{ X1 2σ2} , dove XN(0, σ2 ), eσ >0,y >0 sono parametri dati. Se tale prezzo superakl’agente eserciter`a il suo diritto guadagnando la differenza, altrimenti non lo eserciter`a e avr`a guadagno nullo. Il suo guadagno `e pertanto pari alla variabileYdata dalla formula Y=( yexp{ X1 2σ 2} k) + ={ yexp{ X1 2σ2} k,seyexp{ X1 2σ2} k0, 0,seyexp{ X1 2σ2} k0. (a) CalcolareP(Y >0). (b) CalcolareP(Y= 0). (c) La variabile aleatoriaY`e continua? E’ discreta? Perch´e? (d) CalcolareE[Y]. (e) Nel casoy=k= 1, calcolare lim !0E [Y] e lim !1E [Y]. [Tutti i risultati possono essere funzioni dei parametrik, σ, yed essere espressi in termini della funzione di ripartizione Φ della legge normal standard.] Soluzione. (a) P(Y >0) =P( yexp{ X1 2σ 2} k >0) =P( X >logk y+ 1 2σ 2) = 1Φ( 1 σlog k y+ 1 2σ) = Φ( 1 σlog y k 1 2σ) . (b) P(Y= 0) = 1P(Y >0) = Φ( 1 σlog k y+ 1 2σ) . (c) La variabile aleatoriaYnon `e continua perch´eP(Y= 0)>0. La variabile aleatoriaYnon `e discreta perch´e pert >0 la funzione di ripartizione FY( t) =P(Yt) = Φ( 1 σlog k +t y+ 1 2σ) non `e costante a tratti. (d) E[Y] =E[( yexp{ X1 2σ 2} k) +] =∫ 1 logk y+1 2 2( yexp{ x1 2σ 2} k) e x2 =22 p 2πσ2d x =y∫ 1 logk y+1 2 2e ( x2 )2 22 p 2πσ2d xk∫ 1 logk y+1 2 2e x2 =22 p 2πσ2d x =yΦ( 1 σlog y k+ 1 2σ) kΦ( 1 σlog y k 1 2σ) 4 (e)Nel casoy=k= 1,E[Y] = Φ( 1 2σ) Φ( 1 2σ) !0 perσ!0, mentreE[Y] = Φ( 1 2σ) Φ( 1 2σ) !1 perσ! 1. 5