Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 19/2/2014. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SiaX=( X1 X2) un vettore aleatorio gaussiano con media nulla e varianza Q=( 2 2λ 2λ λ) (a) Trovare i valori ammissibili del parametro realeλ. (b) Calcolare la legge condizionata diX 2dato X 1= x. (c) Trovare i valori diλper cui la varianza di tale legge e massima. Trovare poi i valori per cui e minima, interpretando il risultato. Sia oraY= Y 1 Y2 Y3 il vettore aleatorio denito da Y1= X 1 X 2+ 1 , Y 2= 2 X 2, Y 3= X 1 2. (d) Trovare la legge diY. (e) Dire se esistono dei valori diλper cuiY 1e Y 3sono indipendenti. (f ) Scrivere la funzione caratteristica del vettore( Y1 Y3) nel casoλ= 1/3. Soluzione. (a) Occorre che la matrice simmetricaQsia semidenita positiva: si impone 2λ4λ2 0 e si ricava 0λ1/2. (b) E' una legge gaussianaN( ^m,^ σ2 ) dove, secondo le note formule, ^m=λx, ^σ2 =λ2λ2 . (c) ^ σ2 e massima perλ= 1/4, e minima perλ= 0 e perλ= 1/2. Perλ= 0 si haX 2= 0 quasi certamente, mentre perλ= 1/2 risultaX 2= X 1/ 2 quasi certamente. (d) PoicheY=AX+bcon A= 1 1 0 2 1 0 , b= 1 0 2 , risulta cheYha legge gaussiana di mediabe varianza AQAT = 2 3λ2λ22λ 2λ4λ4λ 22λ4λ2 . 1 (e)Essendo le variabili congiuntamente gaussiane l'indipendenza equivale alla condizione di incorrelazione: 22λ= 0, che non puo essere vericata dato che 0λ1/2. (f ) Perλ= 1/3 il vettore( Y1 Y3) ha media e varianza( 1 −2) e( 1 4/3 4/3 2) , da cui ϕ(u, v) = exp( iu2iv1 2( u2 +8 3uv + 2v2 )) . 2 2. Si consideri la seguente famiglia di funzioni dipendenti dal parametroθ: f( x) = 2θxe− x2 I[0;+∞)( x). (a) Determinare i valori del parametroθper cuif e una densita di probabilita. SiaX n, n2N, una successione di variabili aleatorie i.i.d. continue di densitaf . (b) Determinare la distribuzione delle variabili aleatorieX2 n. (c) Determinare la distribuzione esatta diW n=∑ n k=1X2 k n. (d) Determinare la distribuzione asintotica diW n=∑ n k=1X2 k n. (e) Determinare la distribuzione asintotica dib θn=n ∑n k=1X2 k. (f ) Determinare il limite quasi certo dib θn=n ∑n k=1X2 k. Si supponga ora incognito il parametroθ. (g) Proporre un Intervallo di Condenza di livello asintoticoγ= 1αperθ. Risultati. (a) θ >0. (b) X2 n E (θ) per ognin. (c) Wn=∑ n k=1X2 k n 1 n( n, θ) = (n, nθ). (d) Wn=∑ n k=1X2 k n AN( 1 θ, 1 nθ2) per il TCL applicato alla successioneX2 n. (e) b θn=n ∑n k=1X2 k AN( θ,θ 2 n) per il metodo delta. (f ) b θn! θq.c. per la LGN applicata alla successioneX2 n. (g) θ=b θnb θn p nz =2. 3 3. Una fabbrica produce componenti elettronici su piu linee di produzione, ciascuna identicata da un numero interon, cos numerose che si possono idealmente ritenere innite (sicchen2 f0,1,2, . . .g). Piu grande e il valore dinpiu bassa e la qualita: precisamente la durata di funzionamento (in anni) di un componente della lineanha una distribuzione esponenziale con parametron+ 1. Si supponga di scegliere a caso una linea di produzione Xe si indichi conTla durata di un componente prodotto dalla fabbrica. Inizialmente il valore diXviene estratto tra gli indicin= 1,2,3 con probabilita rispet- tive 1/2,1/4,1/4. (a) Calcolare la probabilita cheTsuperi 1.5 (anni). (b) Sapendo cheTha superato 1.5, si calcoli la probabilita che la linea di produzione scelta sia stataX= 1. (c) Si trovi la distribuzione condizionata diXdato l'eventofT >1.5g. Si supponga ora che il numeroXdella linea di produzione venga scelto a caso con una distribuzione di Poisson avente parametroµ >0. (d) Calcolare la funzione di ripartizione diT. (e) Dire seTe assolutamente continua, e in caso positivo calcolarne la densita. Soluzione. (a) P(T >1.5) =P(T >1.5jX= 1)P(X= 1) +P(T >1.5jX= 2)P(X= 2) +P(T >1.5jX= 3)P(X= 3) =e− 31 2+ e− 4:51 4+ e− 61 4= 0 .02829. (b) P(X= 1jT >1.5) =P (T >1.5jX= 1)P(X= 1) P(T >1.5)=e − 31 2 0.02829= 0 .8799. (c) Analogamente si trovaP(X= 2jT >1.5) = 0.0982,P(X= 3jT >1.5) = 0.0219, percio Xe distribuito suf1,2,3gcon probabilita rispettive 0.8799,0.0982,0.0219. (d) Pert >0, P(T > t) =∞ ∑ n=0P (T > tjX=n)P(X=n) =∞ ∑ n=0e − (n+1)t e− µn n!= e− −t ee t , da cuiF T( t) = 1exp( µe− t µt) pert >0,F T( t) = 0 pert0. (e) Fe continua, eC1 fuori dall'origine. Pertanto fT( t) =F′ T( t) = (µe− t + 1) exp( µe− t µt) 1(0;∞)( t). 4