Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 5/5/2014. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Berto, Maso e Guglielmo trovano una pentola magica, piena di monete d’oro, in una grotta degli Eren Brulli. Decidono di spartirsi il tesoro estraendo una moneta alla volta, che viene di volta in volta assegnata a uno dei tre, in modo indipendente e con equiprobabilit`a. 1. Supponendo che la pentola contenganmonete d’oro, calcolare la probabilit`a che: (a) Berto rimanga senza monete d’oro, (b) Berto e Maso rimangano entrambi senza monete d’oro, (c) almeno uno dei tre rimanga senza monete d’oro. 2. Sapendo che le monete nella pentola sonon≥10, calcolare la probabilit`a che: (a) Berto riceva le prime 10 monete d’oro e poi basta, (b) Berto riceva esattamente 10 monete d’oro. 3. La pentola, che `e magica, contiene in realt`a infinite monete d’oro, per cui Berto, Maso e Guglielmo continueranno a spartirsi monete senza interruzione. Del resto si trovano in una grotta. Calcolare quindi la probabilit`a che: (a) Berto rimanga senza monete d’oro, (b) Berto riceva le prime 10 monete d’oro e poi basta, (c) Berto riceva esattamente 10 monete d’oro, (d) Berto riceva almeno 10 monete d’oro. Soluzione.Definiamo gli eventi: • Bk= Berto riceve la k-esima moneta d’oro, • Mk= Maso riceve la k-esima moneta d’oro, • Gk= Guglielmo riceve la k-esima moneta d’oro, per cuiB k, M ke G ksono una partizione dello spazio campionario Ω per ogni k, tutti di probabilit`a 1/3, mentre eventi relativi akdifferenti sono tutti indipendenti. 1. (a) P(Bc 1; : : : ; Bc n) =n ∏ k=1P (Bc k) =n ∏ k=12 3=( 2 3) n , (b) P(Bc 1; Mc 1; : : : ; Bc n; Mc n) =n ∏ k=1P (Bc k; Mc k) =n ∏ k=1P (G k) =n ∏ k=11 3=( 1 3) n , 1 (c)Se •A= “almeno uno dei tre rimane senza monete d’oro”, • SB= “Berto rimane senza monete d’oro” • SM= “Maso rimane senza monete d’oro” • SG= “Guglielmo rimane senza monete d’oro” alloraA=S B∪ S M∪ S Ge, osservando che S B∩ S M∩ S G= ∅, risulta P(A) =P(S B) + P(S M) + P(S G) −P(S B∩ S M) −P(S M∩ S G) −P(S G∩ S B) ; e quindiP(A) = 3( 2 3) n −3( 1 3) n =2 n −1 3n 1: 2. (a) P(B 1; : : : ; B 10; Bc 11; : : : ; Bc n) =( 1 3) 10( 2 3) n10 , (b) (n 10) ( 1 3) 10( 2 3) n10 . 3. (a) P( 1 ∩ k=1B c k) ≤P( n ∩ k=1B c k) =( 2 3) n per ognin, da cuiP( 1 ∩ k=1B c k) = limn!1( 2 3) n = 0, (b) P( B1; : : : ; B 10;1 ∩ k=11B c k) = limn!1( 1 3) 10( 2 3) n10 = 0, (c) “Berto riceve esattamente 10 monete d’oro”⊆lim inf kBc k, per cui P( “Berto riceve esattamente 10 monete d’oro”) ≤P( lim infkB c k) = 0; (d) “Berto riceve almeno 10 monete d’oro”⊇lim sup kB k, per cui P( “Berto riceve almeno 10 monete d’oro”) ≥P( lim supkB k) = 1: 2 2. Ryo Kabuto progetta il suo nuovo disco volante, dotato di tre sfere antigravit`a, di diversa affidabilit`a (intesa come probabilit`a che ciascuna sfera funzioni). La prima infatti, legata al sistema di lancio missili, ha un’affidabilit`a pari al 40%. Sia inveceqla affidabilit`a delle altre due. Le sfere funzionano indipendentemente le une dalle altre. Il disco pu`o volare quando funzionano almeno 2 delle sfere antigravit`a, mentre pu`o sparare missili quando funziona la prima delle tre sfere. Calcolare: (a) la probabilit`a che il disco possa volare, (b) per quali valori diq, il disco vola con una probabilit`a almendo del 95%. Alla fine Ryo Kabuto costruisce il disco con sfere di affidabilit`a 0.4, 0.9 e 0.9. Calcolare la probabilit`a che (c) il disco possa volare, sapendo che sta sparando missili, (d) il disco possa sparare missili, sapendo che sta volando. Soluzione.Definiamo gli eventi: • Ek= sfera kfunzionante • V= il disco volante vola per cuiE 1, E 2e E 3sono eventi indipendenti con P(E 1) = 0 :4 eP(E k) = qperk= 2;3. (a) P(V) =P(E 1; E 2; E 3) + P(E 1; E 2; Ec 3) + P(E 1; Ec 2; E 3) + P(Ec 1; E 2; E 3) = 0:4q2 + 0:4q(1−q)·2 + 0:6q2 = 0:2q2 + 0:8q (b) P(V)≥0:95⇐⇒q≥− 0:8 +√ 0:82 + 4·0:2·0:95 0:4= 0 :9580 (c) P(V|E 1) = q2 + 2q(1−q) = 0:99 (d) P(E 1| V) =P (V|E 1) P(E 1) P(V)=0 :4( q2 + 2q(1−q)) 0:2q2 + 0:8q= 0 :4490 3 3. Si consideri il seguente sistema di tassazione a due scaglioni di reddito: l’aliquota `e del 10% sulla parte di reddito che non supera la soglia di 10keuro, e sale al 20% sulla parte eccedente. Pertanto l’imposta corrispondente a un redditox≥0 `e data dalla formula h(x) ={ 0:1xse 0≤x 0 noto. SiaTl’imposta corrispondente. (a) Disegnare il grafico della funzioneh. (b) Calcolare la funzione di ripartizione diT. (c) Dire seT`e assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densit`a. Si supponga ora di modificare il sistema di tassazione abolendo l’imposta per redditi inferiori a 10keuro. L’imposta cos`ı modificata `e data dalla formula h1( x) ={ 0se 0≤x