Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 18/7/2014. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Dati tre parametriµ X2 R,µ Y2 R,σ2 >0, si considerinom+nvariabili aleatorie reali indipendenti X1, . . . , X mi.i.d. N(µ X, σ2 ), Y1, . . . , Y ni.i.d. N(µ Y, σ2 ), ovvero due campioni casuali, indipendenti fra di loro, estratti da due distribuzioni normali con medesima varianza. Dato un parametro 0p1, si consideri la corrispondente media pesata delle due varianze campionarie S2 p= p S2 X+ (1 p)S2 Y= p∑ m ℓ=1( X ℓ Xm)2 m1+ (1 p)∑ n k=1( Y k Yn)2 n1. (a) Scrivere distribuzione, valore atteso, varianza e funzione caratteristica diS2 X. (b) Calcolare il valore attesoE[S2 p]. (c) Calcolare la varianza Var(S2 p). (d) Trovare il valore dipper cui e minima Var(S2 p). (e) CalcolareE[S2 pj S2 Y]. (f ) Calcolare la funzione caratteristicaφ S2 p. (g) Sem= 3n, calcolare il limite q.c. diS2 pper n! 1. Soluzione. (a) Sappiamo cheS2 Xσ 2 m1χ 2 (m1) )E[S2 X] = σ2 ,Var(S2 X) =2 σ4 m1, φ S2 X( u) =( 1 2 1 2 iσ 2 m−1u) m 1 2. (b) E[S2 p] = σ2 . (c) Var(S2 p) = p2 2 σ4 m1+ (1 p)2 2 σ4 n1. 1 (d)p=m 1 m+n2. (e) E[S2 pj S2 Y] = pE[S2 Xj S2 Y] + (1 p)E[S2 Yj S2 Y] = p σ2 + (1p)S2 Y. (f ) φS2 p( u) =E[ exp{ iS2 pu}] =E[ exp{ iu( p S2 X+ (1 p)S2 Y)}] =φ m1 2S2 X( puσ2 m1) φn1 2S2 Y( (1p)uσ2 n1) =( 1 2 1 2 ipuσ 2 m−1) m 1 2( 1 2 1 2 i(1 −p)uσ2 n−1) n 1 2. (g) S2 p= p S2 X+ (1 p)S2 Y! p σ2 + (1p)σ2 =σ2 q.c. 2 2. Un proiettile viene lanciato da terra in una regione pianeggiante con un inclinazione  (misurata in radianti) rispetto all'orizzontale e con velocita notav >0. Trascurando l'attrito con l'aria, la gittataX, cioe la distanza del punto in cui il proiettile ritorna a terra, e data dalla formula X=ksin(2),dovek=v 2 g ege l'accelerazione di gravita. Si supponga che il lancio sia fatto con inclinazione sostanzial- mente casuale, cioe piu precisamente che  sia uniformemente distribuito in (0, π/2). (a) Calcolare la media diX. (b) Calcolare la varianza diX. [Puo essere utile ricordare che una primitiva della funzione sin2 (2x) e (2xsin(2x) cos(2x))/4.] (c) Calcolare la funzione di ripartizione diX, supponendok= 1 per semplicita. (d) Stabilire seXe assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densita continua, supponendo ancorak= 1. Si supponga ora che il valore div(e quindi dik) non sia noto. Osservando un campione X1, . . . , X ndi variabili con la legge di Xsi decide stimarekevcon^ kne ^ v ndati da ^ kn=π 2Xn, ^ v n=√ gπ 2Xn rispettivamente, doveXne la media campionaria. (e) Studiare la convergenza quasi certa di^ kne ^ v nper n! 1. (f ) Studiare la distribuzione asintotica di^ kne ^ v n. Soluzione. (a) E(X) =2 π∫ π/2 0k sin(2θ)dθ= 2k/π. (b) E(X2 ) =2 π∫ π/2 0k2 sin2 (2θ)dθ=k2 /2, da cuiV ar(X) = (k2 /2)(2k/π)2 =k2 (1 24 π2 ). (c) F(x) = 0 perx0, = 1 perx1. Per 0< x