Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 16/9/2014. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Alberto usa le lenti a contatto, ma e parecchio maldestro e, quando al mattino cerca di mettersele, spesso nell'operazione ne perde una, se non entrambe. Detto quindiXil numero di lenti a contatto perse al mattino da Alberto, sappiamo che per un qualche valore del parametropil numero casualeXha distribuzione fX( k) =P(X=k) =    p; sek= 0; 1−p−p2 ;sek= 1; p2 ;sek= 2: 1. Stabilire i possibili valori del parametrop. Occupiamoci ora di quel che puo capitare in due giorni, considerando indipendenti, e distri- buiti entrambi comeX, i totaliX 1e X 2di lenti perse alla prima e alla seconda mattina. Quando Alberto perde (almeno) una lente, esce in ritardo nel vano tentativo di cercarla. Siano • Y= numero di lenti a contatto perse da Alberto in due giorni, • Z= numero di mattine su due giorni in cui Alberto e in ritardo. Trovare:2. la distribuzione diY, 3. la distribuzione diZ, Calcolare inne le seguenti probabilita, sempre relative a quel che puo capitare in due giorni:4. che Alberto abbia perso 4 lenti, sapendo che ogni mattina e uscito in ritardo, 5. che ogni mattina Alberto sia uscito in ritardo, sapendo che ne ha perse 4, 6. che Alberto abbia perso 1 lente, sapendo che e uscito in ritardo almeno una volta, 7. che Alberto abbia perso 4 lenti, sapendo che e uscito in ritardo la prima mattina.1 Soluzione. 1.    0 ≤p≤1 0≤1−p−p2 ≤1 0≤p2 ≤1= ⇒0≤p≤√ 5−1 2. 2. X1e X 2hanno distribuzione congiunta X2\ X 1 012 0p2 p(1−p−p2 ) p3 1p(1−p−p2 ) (1−p−p2 )2 p2 (1−p−p2 ) 2p3 p2 (1−p−p2 ) p4 per cuiY=X 1+ X 2ha densita fY( k) =P(Y=k) =              p 2 ;sek= 0; 2p(1−p−p2 );sek= 1; 2p3 + (1−p−p2 )2 ;sek= 2; 2p2 (1−p−p2 );sek= 3; p4 ;sek= 4: 3. Z=I (X 1 1)+ I (X 2 1)∼ B(2;1−p). 4. P(Y= 4|Z= 2) =P (Y= 4) P(Z= 2)= p 4 (1−p)2. 5. P(Z= 2|Y= 4) = 1. 6. P(Y= 1|Z≥1) =P (Y= 1; Z≥1) P(Z≥1)= P (Y= 1) P(Z≥1)= 2 p(1−p−p2 ) 1−p2. 7. P(Y= 4|X 1≥ 1) =P (Y= 4; X 1≥ 1) P(X 1≥ 1)= P (Y= 4) P(X 1≥ 1)= p 4 1−p: 2 2. SianoXeYdue variabili indipendenti, entrambe di legge esponenziale di media 1. 1.Provare che risultaP(Y≥aX) =1 1 +aper a >0. Si consideri ora la successione di variabili aleatorieWn=n √ X n √ X+n √ Y; n ∈N: 2. Calcolare la funzione di ripartizione diW nper n∈N. 3. Calcolare il limite in legge diW nper n→ ∞. Soluzione.1. P(Y≥aX) =∫ +1 0( ∫ +1 axe x e y dy) dx=∫ +1 0e x e ax dx=1 1 +a: 2. FWn( t) =P( n √ X n √ X+n √ Y≤ t) =    0 ;set≤0; P( Y≥( 1 t− 1) n X) ;se 0< t