Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 3/2/2015. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Si considerino le estrazioni da un’urna conB= 2 palline bianche eR= 3 palline rosse. SiaX kla variabile Bernoulliana che indica se la k-esima estrazione d`a una pallina rossa, e siaZil ”numero di estrazioni necessarie per ottenere la prima pallina rossa”. Consideriamo il caso di estrazioni senza reimmissione, per cui 1≤k≤5. 1. Le variabiliX ksono indipendenti? 2. Determinare la distribuzione diZ. 3. Calcolare il valore atteso diZ. Si consideri ora il caso diBedRarbitrari numeri naturali. 4. Determinare la densit`a discreta diZ. 1 Soluzione. 1.Le variabiliX knon sono indipendenti: P(X 1= 1 , X 2= 1) = P(X 2= 1 |X 1= 1) P(X 1= 1) =R −1 R+B−1R R+B= 3 10 ̸ =P(X 1= 1) P(X 2= 1) =( R R+B) 2 =9 25. 2. Zpu`o assumere solo i valori 1,2,3. Pertanto `e una variabile aleatoria discreta. La sua distribuzione `e data dalla densit`a discreta fZ(1) = P(Z= 1) =P(X 1= 1) =R R+B= 3 5 fZ(2) = P(Z= 2) =P(X 1= 0 , X 2= 1) =P(X 2= 1 |X 1= 0) P(X 1= 0) =R R+B−1B R+B= 2 53 4= 3 10 fZ(3) = P(Z= 3) =P(X 1= 0 , X 2= 0 , X 3= 1) =P(X 3= 1 |X 2= 0 , X 1= 0) P(X 2= 0 |X 1= 0) P(X 1= 0) =R R+B−2B −1 R+B−1B R+B= 2 51 43 3= 1 10 3. E[Z] =3 ∑ k=1k f Z( k) = 1·6 10+ 2 ·3 10+ 3 ·1 10= 15 10= 1 .5. 4. Zpu`o assumere solo i valori interi 1, . . . , B+ 1. Pertanto `e una variabile aleatoria discreta. La sua densit`a discreta `e data da fZ( k) =P(Z=k) =R R+B−k+ 1B −k+ 2 R+B−k+ 2· · · B −1 R+B−1B R+B. 2 2. Data una variabile aleatoriaX∼N(µ, σ2 ),µ∈R,σ≥0, si consideri il vettore aleatorio Y=( Y1 Y2) =( cosX sinX) . 1. Il vettoreY`e continuo?` E discreto?` E gaussiano? 2. CalcolareE[Y]. 3. Calcolare Var(Y). 4. Determinare i valori diµeσper cui le componentiY 1e Y 2risultano scorrelate. 5. Fissatoµ, si calcolino i limiti diE[Y] e di Var(Y) perσ→ ∞. [Suggerimento: si tengano presenti le identit`a: cosX=e i X + e iX 2, sinX=e i X −e iX 2i.] Soluzione.1. Il vettoreYnon `e continuo perch´e `e bidimensionale con supporto unidimensionale, ovvero la circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Il vettoreYnon `e discreto perch´e pu`o assumere un’infinit`a continua di valori, ovvero tutti i punti della circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Il vettoreYnon `e gaussiano perch´e il suo supporto non `e uno spazio affine. 2. E[cosX] =E[ ei X + e iX 2] =e i  2 2+ e i 2 2 2= e  2 2cosµ E[sinX] =E[ ei X −e iX 2i] =e i  2 2−e i 2 2 2i= e  2 2sinµ E[Y] =E[( Y1 Y2)] = e  2 2( cosµ sinµ) . 3 3. E[cos2 X] =E[ e2i X + e 2iX + 2 4] =e i2 22 + e i222 + 2 4= 1 2( 1 + e 22 cos 2µ) Var(cosX) =E[cos2 X]−E[cosX]2 =1 2( 1 + e 22 cos 2µ) −e 2 cos2 µ E[sin2 X] =E[ e2i X + e 2iX −2 −4] =e i2 22 + e i222 −2 −4= 1 2( 1−e 22 cos 2µ) Var(sinX) =E[sin2 X]−E[sinX]2 =1 2( 1−e 22 cos 2µ) −e 2 sin2 µ E[cosXsinX] =E[ e2i X −e 2iX 4i] =e i2 22 −e i222 4i= e 22 2sin 2 µ Cov(cosX,sinX) =E[cosXsinX]−E[cosX]E[sinX] =e 22 2sin 2 µ−e 2 cosµsinµ =e 2( e 2 −1) 2sin 2 µ Var(Y) =    1 2( 1 + e 22 cos 2µ) −e 2 cos2 µe 2( e 2 1) 2sin 2 µ e 2( e 2 1) 2sin 2 µ1 2( 1−e 22 cos 2µ) −e 2 sin2 µ     4. Cov(cosX,sinX) = 0 perµ=k 2, k∈Z, eσ≥0, oppureµ∈Reσ= 0. 5. Fissatoµ, perσ→ ∞, E[Y]→( 0 0) Var(Y)→( 1 20 01 2) 4 3. Siaξuna variabile aleatoria reale con distribuzione di Cauchy standard, cio`e con densit`a continua e funzione caratteristica date, rispettivamente, da f(x) =1 π1 1 +x2, ϕ (u) =ej uj . 1. Determinare la densit`a continua e la funzione caratteristica diaξ+b, dovea, bsono due costanti reali,a >0. Siano oraξ 1, ξ 2, . . . variabili aleatorie reali indipendenti, ciascuna con distribuzione di Cauchy standard. Dati due parametri realiy, α, sianoX 0, X 1, X 2, . . . le variabili definite ricorsiva- mente dalla formula X0= y,X n+1= α X n+ ξ n+1, n ≥0. 2. X0e X 1sono indipendenti? X 1e ξ 3sono indipendenti? 3. Calcolare la funzione caratteristica e la densit`a continua diX 1. 4. Calcolare la funzione caratteristica e la densit`a continua diX 2. 5. Calcolare la funzione caratteristica diX n. 6. Studiare la convergenza in legge diX nper n→ ∞, al variare dei parametriy, α. Nei casi in cui si ha convergenza, si riconosca la legge limite e se ne calcoli la densit`a continua. 7. Per quali valori dei parametri la convergenza ha luogo inL1 ? Soluzione.1. La funzione caratteristica e la densit`a continua sono, rispettivamente,eiub ϕ(au) =eiub ej auj , f( x−b a) 1 a= 1 aπ1 1 +( xb a) 2. 2. X0e X 1sono indipendenti perch´e X 0`e costante. X 1e ξ 3sono indipendenti perch´e X1`e funzione di ξ 1, indipendente da ξ 3. 3. Chiamiamoϕ nla funzione caratteristica di X n. Risulta X 1= αy+ξ 1e dal punto 1. segue cheϕ 1( u) =eiuy ej uj e la densit`a continua `e1 1 1+(xy)2 . 4. Poich´eX 2= αX 1+ ξ 2, e X 1e ξ 2sono indipendenti si trova ϕ2( u) =E(eiu (X 1+  2) ) =E(eiuX 1 )ϕ(u) =ϕ 1( αu)ϕ(u) =eiu 2 y ej uj ej uj . Dal punto 1. segue che la legge corrispondente `e quella di una variabile della forma aξ+bdovea= 1 +|α|,b=α2 y, che ha perci`o densit`a continua 1 (1 +|α|)π1 1 +( x2 y 1+jj) 2. 5 5.Iterando si ottiene ϕ n( u) =eiu n y ej uj(1+jj+jj2 +:::+jjn 1 ) . 6.Per|α| ≥1,ϕ n( u)→1 u=0che non `e funzione caratteristica e pertanto X nnon converge in legge. Per|α|