Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 30/6/2015. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SianoX, Yvariabili aleatorie reali indipendenti, con leggi esponenziali aventi parametri rispettivamenteλeµ. 1. Si calcoli la funzione di ripartizione della variabileT=X/ Y. 2. Determinare seTe assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densita. 3. Calcolare il valore atteso diT. 4. Trovare la legge del vettore (X, T). 5. Trovare la legge condizionata diXdatoT=t. 6. Calcolare il valore atteso condizionato diXdatoT=t. Soluzione.Il vettore aleatorio (X, Y) ha densita continuaf X;Y( x, y) =λe− x µe− y per x >0, y >0 e pari a zero altrove. 1. FT( t) = 0 pert≤0. Pert >0. FT( t) =P(X≤tY) =∫ ∞ 0λe − x∫ ∞ x=tµe − y dy dx=tλ tλ+µ. 2. FTe continua, e C1 a tratti. PercioTammette densita fT( t) =F′ T( t) =λµ (tλ+µ)21 (0;∞)( t). 3. Te positiva conE(T) =∫ ∞ 0t (t+)2 dt = +∞. 4. PoniamoU=Xe notiamo che il vettore (U, T) e supportato in (0,∞)×(0,∞) come (X, Y). Risulta (X, Y) =g(U, T), doveg 1( u, t) =u,g 2( u, t) =u/t((u, t)∈ (0,∞)×(0,∞)) che ha determinante Jacobiano det( 1 0 1 t−u t2) =−u t2. Percio (U, T) ha densita continua fU;T( u, t) =λe− g 1( u;t) µe− g 2( u;t)u t2= λe− u µe− u=tu t2 peru >0, t >0 e pari a zero altrove. 1 5.Per t >0 e la legge che ammette densita continua u7→f U;T( u, t) fT( t)= e− u e− u=tu t2( tλ+µ)2 , u >0. Si riconosce che si tratta della legge (2, λ+ t). 6. Tenendo conto della densita trovata al punto precedente si ha, pert >0, E(X|T=t) =∫ ∞ 0u f U;T( u, t) fT( t)du =( tλ+µ)2 t2∫ ∞ 0u 2 e− u(+=t) du=2 t tλ+µ. Allo stesso risultato si poteva arrivare immediatamente ricordando la formula per la media della legge (2, λ+ t). 2 2. Dato un sacchetto di monete truccate con probabilita di testa 0< p