Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 22/9/2015. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SianoT 1e T 2i tempi di vita (a tempo discreto) di due lampade. Tali tempi sono indipendenti ed entrambi di legge uniforme sui naturali da 1 an,n≥2. Le due lampade vengono accese contemporaneamente ed illuminano una met`a a testa di una medesima stanza. SiaUl’istante in cui la stanza non sar`a pi`u tutta illuminata, e siaVl’istante in cui rimarremo al buio. (a) Scrivere la densit`a congiunta diT 1e T 2. (b) Calcolare la probabilit`a che la stanza passer`a direttamente dall’essere tutta illuminata al buio totale, senza rimanere quindi illuminata solo per met`a. (c) Calcolare la probabilit`a che la prima lampada duri pi`u della seconda. (d) Trovare la densit`a e la funzione di ripartizione diV. (e) Trovare la legge congiunta diUeV. (f ) UeVsono indipendenti? Soluzione. (a) f(T 1;T 2)( k, ℓ) = 1/n2 ∀k, ℓ: 1, . . . , n. (b) P(T 1= T 2) =n ∑ k=1P (T 1= k, T 2= k) =1 n. (c) P(T 1> T 2) =1 −P(T 1= T 2) 2= n −1 2n. (d) Per ognik= 1, . . . , nabbiamo fV( k) =P(T 1= T 2= k) + 2P(T 1= k, T 2< k ) =1 n2+ 21 nk −1 n= 2 k−1 n2 FV( k) =( FT1( k)) 2 =k 2 n2. (e) Peri, j= 1, . . . , nabbiamo f(U;V)( i, j) =    2 /n2 sei < j, 1/n2 sei=j 0 sei > j (f ) No, dato che, ad esempio,P(V= 1) = 1/n2 ̸ = 0 =P(V= 1|U= 2). 1 2. Il 21 ottobre 2015 si avvicina e un nuovo skateboard sta per invadere il mercato. La distanzaXpercorsa dallo skateboard prima di rompersi ha distribuzione esponenziale di media 1/λ. Lo skateboard sar`a venduto con una garanzia, per cui verr`a sostituito con uno skateboard nuovo qualora si dovesse rompere prima di aver percorso una distanzaξ >0. 1. Calcolare la probabilit`a di che uno skateboard nuovonondebba essere sostituito. 2. Calcolare, per ognit∈R,P(X > t|X > ξ), cio`e la funzione di sopravvivenza diX sapendo che lo skateboard non andr`a sostituito. 3. Trovare la densit`a continua e la media diXsapendo che non andr`a sostituito. 4. Trovare la densit`a continua e la media diXsapendo che andr`a sostituito. La stessa garanzia sar`a valida anche per gli skateboard sostitutivi, per cui ogni acquirente continuer`a a ricevere skateboard fino a quando ricever`a il primo skateboard chenondovr`a essere sostituito. SiaNil numero totale di skateboard ricevuti da un acquirente. Le distanze percorse prima della rottura da skateboard differenti sono indipendenti. 5. Trovare la distribuzione e la media diN. Siasil costo di produzione di uno skateboard nuovo, siaril suo prezzo di vendita, siaG il guadagno finale ottenuto dalla vendita di uno skateboard, tenendo conto delle eventuali sostituzioni. 6. ScrivereGin funzione dis,redN. 7. Trovare quanto deve valererper avere un guadagno medio positivo. 2 Soluzione. 1.P(X > ξ) = e  . 2. Pert≤ξsi haP(X > t|X > ξ) = 1, mentre pert > ξ, P(X > t|X > ξ) =P (X > t, X > ξ) P(X > ξ)= P (X > t) P(X > ξ)= e t e = e (t) . 3. La funzione di sopravvivenza calcolata sopra `e continua, ed `eC1 a tratti: derivando si ottiene la densit`a cercata:f(t) =λe e t I(;+1)( t) da cui E[X|X > ξ] = e∫ +1 t λ e t dt=ξ+1 λ. 4. Pert≤0 si haP(X > t|X≤ξ) = 1; pert≥ξsi haP(X > t|X≤ξ) = 0; infine per 0< t < ξ, P(X > t|X≤ξ) =P (X > t, X≤ξ) P(X≤ξ)= e t −e  1−e  da cui derivando si ottiene la densit`af(t) =λ 1−e e t I(0;)( t),e infine E[X|X≤ξ] =λ 1−e ∫  0t e t dt=1 λ− ξ e −1. 5. N∼G(e  ) per cuiE[N] = e . 6. G=r−s N. 7. E[G] =r−sE[N]>0⇐⇒r > se . 3 3. SiaXuna variabile aleatoria con distribuzione uniforme sull’intervallo (0, θ), doveθ >0 `e un parametro. 1. Per ogniα >0 calcolare la funzione di ripartizione diX , disegnandone il grafico. 2. Determinare seX `e assolutamente continua e in tal caso calcolarne la densit`a. 3. Calcolare la funzione caratteristica di√ X. Sia ora, per ogni interon≥1, Yn=n √ X . 4. Determinare se la successioneY nconverge in legge e in tal caso trovarne il limite. 5. Determinare seY nconverge in probabilit`a. 6. Determinare seY nconverge quasi certamente. 7. Determinare seY nconverge in L1 . Soluzione.1. Perx >0, FX (x) =P(X ≤x) =P(X≤x1 = ) =  x 1 = θ, 0< x≤θ , 1, x≥θ , mentreF X (x) = 0 perx≤0. 2. Poich´eF X `e continua, ed `eC1 a tratti,X `e assolutamente continua e derivando si ottiene la densit`a fX (x) =1 αθx1  1 1(0; )( x). 3. Ponendoα= 1/2 si ottiene ϕp X( u) =∫ p  0e iux 2 θx dx =2 eiup  iu√ θ+ 2 u2 θ( eiup −1) . 4. Ponendoα= 1/nsi ottieneθ1 =n →1 e quindiF Yn( x)→1 [1;1)( x) (tranne al pi`u per x= 1), da cuiY n→ 1 in legge. 5. Essendo 1 una costante, la convergenza ha luogo anche in probabilit`a. 6. Per quasi ogniωsi haX(ω)∈(0,∞), da cuiX(ω)1 =n →1. Perci`oY n→ 1 q.c. 7. Poich´e|Y n| ≤n √ θ≤cper un’opportuna costantec(dal momento chen √ θ→1), e poich´ec∈L1 , si haY n→ 1 inL1 per convergenza dominata. 4