Mathematical Engineering - Probabilità

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Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 5/7/2016. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.Per ogni interon≥1 siano date variabili aleatorie realiX ncon legge N(0; n) (denite sullo stesso spazio di probabilita). Siano poi Yn= exp( Xn−n 2) : (a) Calcolare valore atteso e varianza diY n. [Suggerimento: usare la formula∫+∞ −∞e x e− x2 =2 dx= e 2 =2√ 2; valida per ogni∈R.] (b) Calcolare la funzione di ripartizione diY n, esprimendola per mezzo della funzione di ripartizione  della leggeN(0;1). (c) Stabilire se le variabiliY nsono assolutamente continue e in tal caso calcolarne la densita continua. (d) Studiare la convergenza in legge della successioneY n. (e) Studiare la convergenza della successioneY nin L1 e inL2 . (f ) Trovare per quali valori di∈Resiste il limite in legge della successione en Yne calcolarlo. 1 Soluzione. (a)Poiche E[eX n ] =∫ Re x e− x2 =2n √ 2nd x= en= 2 ;E[e2 X n ] =∫ Re 2 xe− x2 =2n √ 2nd x= e2 n ; grazie al suggerimento e al cambio di variabiley=x=√ n. Quindi si ottieneE[Y n] = 1 e Var(Y n) = E[Y2 n] −E[Y n]2 =E[e2 X n ]e− n −1 = en −1: (b) Fn( y) =P(Y n≤ y) = 0 pery≤0, mentre pery >0, Fn( y) =P( Xn−n 2≤ logy) =P( Xn √ n≤√ n 2+ log y √ n) = ( √ n 2+ log y √ n) : (c) PoicheF ne continua, ed e di classe C1 a tratti, la densita continua esiste e si trova derivando: F′ n( y) =1 y√ n ′( √ n 2+ log y √ n) 1(0;∞)( y) =1 y√ 2ne − 1 2( p n 2+log y p n) 2 1(0;∞)( y): (d) Pery >0 si haF n( y)→(+∞) = 1, da cuiY n→ 0 in legge. (e) La convergenza inL1 implica quella in legge; percio in caso di convergenza inL1 il limite sarebbe 0 e si avrebbeE[|Y n| ] =E[Y n] →0. Si ha inveceE[Y n] = 1 e pertanto la successione non converge inL1 . Poiche la convergenza inL2 implica quella inL1 , non si puo avere convergenza inL2 . (f ) Le funzioni di ripartizione di en Ynsono date da P(en Yn≤ y) = 0 pery≤0, mentre pery >0, P(en Yn≤ y) =F n( ye− n ) = ( √ n 2+ log y √ n− √ n) ; che tende a (+∞) = 1, (0) = 1=2, (−∞) = 0 se, rispettivamente, 1=2. Solo nel primo caso c'e convergenza in legge (verso 0). 2 2. La legge congiunta delle variabili aleatorie discreteXeYe descritta dalla seguente tabella:X\Y −3 27pX −1 0:1 0:2 0:1 0:4 00:1 00:1 0:2 40:2 0:2 00:4 pY 0:4 0:4 0:2 1 Ad esempio,P(X= 0; Y= 7) = 0:1. (a) Dire seXeYsono indipendenti. (b) Determinare la legge della variabile aleatoriaZ=X Y. (c) DeterminareE[X|X Y= 0]. (d) CalcolareE[X|Y= 2] e Var(X|Y= 2). (e) CalcolareE[X|Y]. (f ) Quanto valeP(E[X|Y]< X Y) ? Soluzione. (a) XeYnon sono indipendenti, infatti ad esempiop (X;Y)(0 ;2) = 0̸ =p X(0) p Y(2) = 0 :08. (b) pZ( −12) = 0:2,p Z( −7) = 0:1,p Z(3) = 0 :1,p Z( −2) = 0:2,p Z(0) = 0 :2,p Z(8) = 0 :2 (e pZ(28) = 0). (c) E[X|X Y= 0] =E[X|X= 0] = 0. (d) E[X|Y= 2] =3 2e Var( X|Y= 2) =E[X2 |Y= 2]−E[X|Y= 2]2 =17 2−9 4=25 4. (e) E[X|Y] =E[X|Y=−3]I {Y=−3}+ E[X|Y= 2]I {Y=2}+ E[X|Y= 7]I {Y=7}= =7 4I {Y=−3}+3 2I {Y=2}−1 2I {Y=7}. (f ) P(E[X|Y]< X Y) =p (X;Y)( −1;−3) +p (X;Y)(4 ;2) +p (X;Y)(0 ;7) +p (X;Y)(4 ;7) = 0:4. 3 3.SiaX= X 1 X2 X3 un vettore aleatorio gaussiano con media nulla e varianza Var(X) = 1 + 2 2 1− 2 4 2 1−2 2 ; dovee un parametro reale. (a) Trovare per quali valori diesiste la densita continua del vettoreXe per tali valori calcolarla. (b) Trovare il valore diper cuiX 1e indipendente da X 2− X 1. (c) Trovare la legge del vettore( X2 X2− 2X 3) . (d) Trovare la legge della variabile aleatoriaX2 2+ ( X 2− 2X 3)2 . (e) Trovare la legge condizionata del vettore( X1 X2) datoX 3= x. Soluzione. (a) Risulta det Var(X) = 0 per ogni, eXnon ammette densita continua per nessun valore di. (b) Trattandosi di variabili congiuntamente gaussiane i valori trovati si trovano imponendo0 = Cov(X 1; X 2− X 1) = Cov( X 1; X 2) −Var(X 1) = 2 −(1 +2 ) =⇒=±1: (c) Tale vettore ha la formaAXconA=( 0 1 0 0 1−2) e pertanto ha legge gaussiana con media nulla e varianza AVar(X)AT =( 4 0 0 4) = 4I : (d) Il vettoreZ=1 2( X2 X2− 2X 3) ha legge gaussiana standard e pertanto∥Z∥2 ∼2 (2). Si conclude cheX2 2+ ( X 2− 2X 3)2 = 4∥Z∥2 ∼42 (2): (e) Secondo la teoria la legge condizionata del vettoreY=( X1 X2) datoX 3= xe gaussiana con media ^ m(x) = Cov(Y ; X 3) Var( X 3)− 1 x=( 1− 2) 1 2x =( (1−)x=2 x) e varianza^ Q= Var(Y)−Cov(Y ; X 3) Var( X 3)− 1 Cov(X 3; Y ) =( 1 +2 2 2 4) −( 1− 2) 1 2( 1−2) =( (2 + 2+ 1)=2 1 + 1 +2) : 4