Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Probabilita. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 30/9/2016. Cognome:Nome: Matricola:Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. 1.SianoX 1e X 2variabili aleatorie indipendenti e geometriche: P(X i= k) =pk i(1 p i) ,per ogni interok0, conp 1, p 22 (0,1). ScriviamoX 1 G (p 1) e X 2 G (p 2). Consideriamo la seguente variabile aleatoria:M= min(X 1, X 2) . Inne, deniamoI={ 1,seX 1 X 2, 2,seX 1> X 2. Siaj0 un intero ssato. (a)Quanto valeP(X 1 j)? (b)CalcolareP(Mj). (c)CalcolareP(M=j). (d)Quanto valeP(I= 1)? (e)DeterminareP(I= 1, M=j). Le variabili aleatorieIedMsono indipendenti? Soluzione. (a)P(X 1 j) =∑ 1 k=jpk 1(1 p 1) = pj 1. (b)P(Mj) =P(X 1 j)P(X 2 j) = (p 1p 2)j . In particolare,M G(p 1p 2). (c)P(M=j) =P(Mj)P(Mj+ 1) = (p 1p 2)j (1p 1p 2). (d)P(I= 1) =P(X 1 X 2) =∑ 1 k=0P (X 1= k, X 2 k) =1 p 1 1p 1p 2. (e)P(I= 1, M=j) =P(I= 1, X 1= j) =P(X 1 X 2, X 1= j) =P(X 1= j)P(X 2 j) = (p 1p 2)j (1p 1). Si ha che P(I= 1, M=j) =P(I= 1)P(M=j), quindi gli eventi fI= 1gefM=jgsono indipendenti. Poiche l'eventofI= 2ge il complementare di fI= 1g, deduciamo che anche gli eventifI= 2gefM=jgsono indipendenti, quindi P(I= 2, M=j) =P(I= 2)P(M=j). Concludiamo che la densita discreta congiunta diIedMsi fattorizza, quindiIedMsono indipendenti. 1 2. Si consideri una famiglia di variabili aleatorieX , dipendenti da un parametro λ >0 e avente densita continua della forma f( x) =C ex 1(0;)( x), x2R. (a)Trovare il valore della costanteC, in funzione diλ. (b)Calcolare lim!0E [eX  ]. (c)Calcolare la funzione caratteristica diX . (d)Studiare la convergenza in legge diX per λ! 1e perλ!0, determinandone il limite ove possibile. (e)Studiare la convergenza in legge diX  λperλ! 1e perλ!0, determinandone il limite ove possibile. Soluzione. (a)Imponendo∫ Rf ( x)dx= 1 si trovaC= (e 1) 1 . (b)lim !0E [eX  ] = lim !01 e 1∫  0e 2 x dx= lim !01 e 1e 2  1 2= 1 . (c)ϕ( u) = (e 1) 1∫  0eiux ex dx, da cui ϕ( u) =1 e 1e (1+ iu) 1 1 +iu. (d)Si applica il teorema di Levy. Perλ! 1,ϕ ( u) non converge (tranne che peru= 0) e pertantoX non converge in legge. Per λ!0,ϕ ( u)!1 pertantoX ! 0 in legge. (e)Perλ!0 risultaX  λ!0 per il punto precedente e il teorema di Slutsky.X  λ ha funzione caratteristica e iu ϕ( u) =1 e 1e  e iu 1 +iu che tende verso1 1+iuper λ! 1. Pertanto, perλ! 1,X converge in legge verso una variabileXavente funzione caratteristica1 1+iu, cioe tale che Xha legge esponenziale di parametro 1. Alle ultime due domande si puo rispondere anche considerando la funzione di ripartizione diX e di X  λ. 2 3. SianoI , X 1, X 2, . . . variabili aleatorie indipendenti.Iabbia legge binomialeIB(n, q), conn1 intero eq2(0,1). CiascunaX iabbia legge di Bernoulli di parametro p2(0,1). Si consideri la variabile aleatoriaYdata da Y=X 1+


+X I, seI1,Y= 0,seI= 0. (a)Determinare la legge condizionata diYdatoI=i, per ognii= 0, . . . , n. (b)CalcolareE[YjI] e Var(YjI). (c)CalcolareE[Y] e Var(Y). (d)Determinare la distribuzione congiunta diYeI. Soluzione. (a)YjI=iB(i, p), per ognii= 0, . . . , n. (b)E[YjI] =pIe Var(YjI) =p(1p)I. (c)E[Y] =E[E[YjI]] =pqne Var(Y) = Var(E[YjI]) +E[Var(YjI)] =p2 q(1q)n+p(1 p)qn=pqn(1pq). (d)La densita discreta di (Y , I) e data da: p(Y ;I)( k, i) =p YjI( kji)p I( i) =( i k) pk (1p)i k( n i) qi (1q)n i , per ognii= 0, . . . , nek= 0, . . . , i. 3