Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione I Prova in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica27 aprile 2017 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Consideriamo estrazioni indipendenti di 1 pallina da un'urna, nel caso in cui il numero totale di palline nell'urna aumenti ad ogni estrazione. Più esattamente, per l'estrazionen-esima l'urna viene riempita conn2 palline, numerate da 1 an2 . Si calcoli la probabilità di: 1. estrarre la pallina numero 2 allan-esima estrazione,n1; 2. estrarre sempre la pallina numero 2 dalla seconda allan-esima estrazione; 3. aver estratto la pallina numero 2 alla seconda estrazione, sapendo che è stata estratta almeno unavolta nelle prime3estrazioni; 4. aver estratto la pallina numero 2 alla seconda estrazione, sapendo che è stata estratta esattamenteuna volta nelle prime3estrazioni; 5. estrarre la pallina numero 2 innite volte.Suggerimento: si consideri inizialmente l'evento estrarre la pallina 2 almeno una volta dalla estrazionen-esima in poi e se ne maggiori la probabilità sfruttando la subadditività. 1 Risultati. Per ognin2N, indichiamo conE nl'evento alla n-esima estrazione viene estratta la pallina numero2. 1.P(E 1) = 0 eP(E n) =1n 2 , per ogni n2. 2.P E2; : : : ; E n =1( n!)2. 3.P E2  3 [ n=1E n =P  E2;3 [ n=1E nP  3 [ n=1E n =P (E 2)P (E 2) + P(E 3) P(E 2; E 3)=14 1 4 +19 136 = 3648 = 0 :75 4.P E2  ( E 2\ Ec 3) [(Ec 2\ E 3) =P E2; Ec 3P  (E 2\ Ec 3) [(Ec 2\ E 3) =P (E 2) P(Ec 3)P (E 2) P(Ec 3) + P(Ec 2) P(E 3) =14 89 1 4 89 +34 19 = 811 = 0 :7273: 5. Grazie alla subadditività della probabilità abbiamoP +1 [ k=nE k! + 1 X k=nP (E k) =+ 1 X k=n1k 2: Essendo+ 1 X k=n1k 2il resto di una serie convergente, otteniamo subito P(lim supE k) = P +1 \ n=1+ 1 [ k=nE k! = limn!1P +1 [ k=nE k! lim n!1+ 1 X k=n1k 2= 0 : 2 Problema 2. I biglietti della nuova lotteria istantaneaPoco Ma Subito!costano 2 euro l'uno, l'unica vincita possibile è di 50 euro, ed è vincente un biglietto ogni 50. 1. Calcolare distribuzione e valore atteso del ricavoXe del guadagnoYper l'acquisto di un biglietto. Marco progetta di acquistare biglietti no a quando non ne troverà uno vincente. I biglietti sono vincenti o no indipendentemente gli uni dagli altri. 2. Calcolare distribuzione e valore atteso del numeroNdi biglietti che dovrà acquistare Marco. 3. Calcolare distribuzione e valore atteso del ricavoX Me del guadagno Y Mdi Marco. 4. Calcolare la probabilità che Marco non perda soldi. In realtà Marco ha solo 6 euro e può quindi acquistare al massimo 3 biglietti. Siano quindie N,e XMee YMil numero di biglietti, il ricavo e il guadagno in presenza di questo vincolo. 5. Calcolare distribuzione e valore atteso die N. 6. Calcolare distribuzione e valore atteso die XMe die YM. 3 Risultati. 1.Xè variabile aleatoria discreta con P X= 50 = 0:02;P X= 0 = 0:98;E[X] = 1: Y=X2è variabile aleatoria discreta con P Y= 48 =P X= 50 = 0:02;P Y=2 =P X= 0 = 0:98;E[Y] =E[X]2 =1: 2.NG(0:02)per cuiP N=n = 0:02
0:98n 1 ,n2N, e quindiE[N] = 50. 3.X Mè variabile aleatoria discreta degenere con P XM= 50 =P N 25 = 10:9825 = 0:3965. 5.e N=N^3è variabile aleatoria discreta con P e N= 1 =P N= 1 = 0:02;P e N= 2 =P N= 2 = 0:0196; P e N= 3 = 1P e N 3;è variabile aleatoria discreta con P e XM= 0 =P N >3 = 0:983 = 0:9412;P e XM= 50 =P N3 = 0:0588; E[e XM] = 2 :9404: e YM=e XM 2e N=( 502N ;seN3; 6;seN >3;è variabile aleatoria discreta con P e YM= 6 = 0:9412;P e YM= 44 = 0:02;P e YM= 46 = 0:0196;P e YM= 48 = 0:0192 E[e YM] = 2:9404: 4 Problema 3. SiaSil valore di un certo titolo nanziario tra un anno. Un agente nanziario ritiene che Sabbia legge lognormale, ovvero S=s 0eX ; X N(; 2 ); doves 0> 0,2R, >0sono costanti ssate. (a) Determinare il valore atteso diS. L'agente nanziario decide di sottoscrivere unaopzione col lar, con scadenza un anno, con oor price k1e cap price k 2, dove 0< k 1< k 2. Tale opzione fornisce a scadenza un ricavo R= 0seSrisulta minore dik 1, fornisce un ricavo R=Sk 1se Srisulta campreso frak 1e k 2, fornisce un ricavo R=k 2 k 1se Ssuperak 2. (b) Trovare due funzionih:R!Reg:R!Rtali che R=h(S); R=g(X): Disegnare un graco dihe dig. (c) Mostrare cheRè una variabile aleatoria reale. (d) Trovare la legge diR. (e) Si tratta di una variabile aleatoria continua? Discreta? Perché? (f ) Si calcoli il ricavo attesoE[R]. (g) Quanto può valere il oor pricek 1anché P(R= 0)0:25? 5 Risultati. (a)E[S] =s 0e +12 2 . (b) h(x) = minfmaxfx; k 1g ; k 2g k 1=8 > < > :0 ;sexk 1; xk 1; sek 1 xk 2; k2 k 1; sexk 2 g(x) = min max s0ex ; k1 ; k2 k 1=8 > < > :0 ;sexlogk 1s 0; s0ex k 1; selogk 1s 0 xlogk 2s 0; k2 k 1; sexlogk 2s 0: (c)Rè una variabile aleatoria reale in quantoR=h(S), conhfunzione continua, quindi boreliana. (d) Determiniamo la funzione di ripartizione diR. SianoAl'evento(Sk 1) ,Bl'evento(k 1< S k 2) eCl'evento(S > k 2) . Si noti che la famiglia di tre eventiA; B; Cè una partizione dello spazio campionario. La funzione di ripartizione diRè data da, per ognit2R: FR( t) = P((Rt)\A) +P((Rt)\B) +P((Rt)\C)
I[0;k 2 k 1)( t) +I [k 2 k 1; +1)( t) = P(A) +P(k 1< S k 1+ t) + 0
I[0;k 2 k 1)( t) +I [k 2 k 1; +1)( t) =P(Sk 1+ t)I [0;k 2 k 1)( t) +I [k 2 k 1; +1)( t): Sia oraZ N(0;1). Allora, per ognit2[0; k 2 k 1) , P(Sk 1+ t) =P Zlog k 1+ ts 0   =  logk 1+ ts 0   : Quindi, per ognit2R, FR( t) =  logk 1+ ts 0   I[0;k 2 k 1)( t) +I [k 2 k 1; +1)( t): (e) La variabile aleatoriaRnon è continua (dato cheF Rnon è continua in t= 0et=K 2 K 1) né discreta (dato cheF Rnon è costante a tratti). (f ) E[R] =E[g(X)] =Z +1 1min  max s0ex ; k1 ; k2 1p 2 2e 12 ( x)2 2 dxk 1 =Z log k1s 0 1k 11p 2 2e 12 ( x)2 2 dx+Z log k2s 0 log K1s 0 s 0ex 1p 2 2e 12 ( x)2 2 dx +Z +1 log k2s 0 k 21p 2 2e 12 ( x)2 2 dxk 1 =k 2 1 log k2s 0
  k 1 1 log k1s 0
  +s 0e +12 2  log k2s 0
(+2 )   log k1s 0
(+2 )  : (g)P(R= 0) =P(Sk 1) = P(s 0eX K 1) =  log k1s 0
  0:25 se e solo selog k1s 0
   1 (0:25) =z 0:25; da cui otteniamok1 s 0e z 0:25 s 0e 0:674 : 6