Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica29 agosto 2017 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Una grande urna contiene 10 pillole, di cui 8 azzurre e 2 rosse. Morpheus estrae simul- taneamente 5 pillole dalla grande urna per poi riporle in una piccola urna. A questo punto Neo estrae 1 pillola dalla piccola urna, ovvero dalle 5 precedentemente estratte da Morpheus. SiaXil numero di pillole rosse estratte da Morpheus, siaYil numero di pillole rosse estratte da Neo. 1.Calcolare la probabilità diX= 1. 2.Calcolare la probabilità diX= 1eY= 1. 3.Calcolare la probabilità diY= 1. 4.Gli eventi(X= 1)e(Y= 1)sono indipendenti? 5.Le variabiliXeYsono indipendenti? 6.Calcolare la legge congiunta diXeY. 1 Risultati. 1.Xha legge ipergeometricaH(10;2;5)per cui P(X= 1) = 2 1
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=59 = 0 :5556: 2.YjX= 1ha leggeB(1=5)per cui P(X= 1; Y= 1) =P(Y= 1jX= 1)P(X= 1) =15 59 = 19 = 0 :1111: 3. P(Y= 1) =2 X k=0P (Y= 1; X=k) =2 X k=1P (Y= 1jX=k)P(X=k) =15 59 + 25 2 2
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=15 59 + 25 29 = 15 = 0 :2: Del resto la doppia estrazione di Morpheus e Neo è solo un modo complicato di estrarre 1 pillola dalla grande urna. 4.Gli eventi(X= 1)e(Y= 1)sono indipendenti: P(X= 1; Y= 1) =P(Y= 1)P(X= 1) =19 : 5.Le variabiliXeYnon sono indipendenti: YjX= 1B(1=5)mentreYjX= 2B(2=5)eYjX= 0B(0): 6.La legge congiunta diXeYè caratterizzata dalla densità congiunta discreta YnX012p Y02/94/92/154/5 101/94/451/5 p X2/95/92/91 2 Problema 2. Un componente elettronico è costituito da due elementi in parallelo. I tempi di vitaT k dei due elementi,k= 1;2, sono indipendenti ed entrambi esponenziali di parametroe media= 1=. Siano Sl'istante del primo guasto di uno dei due elementi, Til tempo di vita del componente, Zil tempo trascorso fra l'istante del primo guasto di uno dei due elementi e l'istante del guasto del restante elemento. 1.EsprimereSin termini diT 1e T 2, quindi determinarne legge, media e varianza. 2.EsprimereTin termini diT 1e T 2, quindi determinarne legge, media e varianza. 3.EsprimereZin termini diT 1e T 2, quindi determinarne legge, media e varianza. 4.EsprimereTin termini diSeZ, controllando che risulti corretta la relazione fra le medie. 5.TrovareCov(S; Z). 3 Risultati. Sappiamo cheT 1; T 2i.i.d. E(),E[T k] = =1 . 1.S= minfT 1; T 2g ; S E(2);E[S] =12 ; Var(S) =14 2. 2.T= maxfT 1; T 2g ; F T( t) = (1e t )2 I[0;1)( t);E[T] =32 = 32 ; Var(T) =54 2. InfattiFT( t) =F T1( t)F T2( t); E[T] =Z 1 0t 2(1e t )e t dt=32 ; E[T2 ] =Z 1 0t 2 2(1e t )e t dt=72 2: 3.Z=jT 1 T 2j ; Z E();E[Z] =;Var(Z) =1 2. Infatti FZ( t) =P(Zt) = 2Z +1 0 Z t2+ t t2 2 e (t 1+ t 2) dt 1 dt 2 I[0;1)( t) = 1e t I[0;1)( t): 4.T=S+Z, che implicaE[T] =E[S] +E[Z]come infatti accade. 5.Cov(S; Z) =12 n Var(T)Var(S)Var(Z)o = 0. 4 Problema 3. Una particella si muove casualmente a tempo discreto lungo una retta. ChiamiamoX n la posizione della particella all'istanten= 0;1; : : :. Inizialmente la particella si trova nella posizione X0= x2R. Poi, ad ogni passaggio dall'istantenall'istanten+ 1, la particella tornerebbe verso l'origine spostandosi dalla posizioneX nin  X n, con 0 0. 1.Qual è la legge diX 1? 2.Qual è la legge congiunta diX 0e X 1? 3.Qual è la legge congiunta diX 0e X 1e X 2? 4.Per qualirisultano indipendentiX 0e X 1? 5.Per qualirisultano indipendentiX 1e X 2? 6.Qual è la legge diX n? 7.Mostrare che la successione(X n) n0converge in legge e determinare la legge limite. 5 Risultati. 1.X 1 N ( x; 2 ). 2. X0 X1  N x  x ; 0 0 02 . 3.2 4X 0 X1 X23 5 N0 @2 4x  x 2 x3 5;2 40 0 0 02 2 02 (1 +2 )23 51 A. 4.PoichéX 0è una costante, X 0e X 1sono indipendenti per ogni . 5.PoichéX 1e X 2sono congiuntamente gaussiane, X 1j =X 2se e solo se Cov(X 1; X 2) = 0 , ovvero = 0. 6.X n= n x+n X k=1 n k Zk N n x; 2n 1 X k=0 2 k! =N n x;1 2 n1 22 . 7.'Xn( u) = exp iu n x12 u 2 1 2 n1 22 n!+1 !exp 12 u 2 21 2 ;8u2R: Per il Teorema di continuità di Lévy, segue che XnL !X N 0; 21 2 : 6