Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione I Prova in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica27 aprile 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Gabrio gioca spesso aTichu. Si tratta di un gioco di carte per quattro giocatori basato su un mazzo da 56 carte contenente, oltre alle classiche 52 carte, 4 carte speciali: Drago, Fenice, Piccione e Cane. Ogni giocatore riceve inizialmente 8 carte e, sulla base di queste, può decidere se dichiarare Grande Tichu, raddoppiando la posta del gioco. 1. Qual è la percentuale di mani in cui Gabrio fra le prime 8 carte riceve il Drago e la Fenice? Gabrio è diventato un giocatore esperto e dichiara Grande Tichu quando fra le sue 8 carte ne riceve almeno due potenti, ovvero almeno due fra il Drago, la Fenice e i quattro Assi. 2. Qual è la percentuale di mani in cui Gabrio dichiara Grande Tichu? 3. Se Gabrio ha appena dichiarato Grande Tichu, con quale probabilità ha solo due carte potenti? 4. Se Gabrio ha appena dichiarato Grande Tichu, con quale probabilità ha il Drago e la Fenice? 5. Se Gabrio ha dichiarato Grande Tichu alla prima mano di oggi, con quale probabilità lo rifaràalla seconda? 1 Risultati. Supponendo le carte distribuite ai giocatori senza trucco e senza inganno, possiamo pensare che il primo blocco di 8 carte ricevuto da Gabrio siano 8 carte pescate simultaneamente dal mazzo di 56 conprobabilità uniformefra tutte le combinazioni possibili. 1. Introdotto l'evento A=Gabrio riceve fra le prime 8 carte il Drago e la Fenice; si haP(A) = 54 6
56 8
= 0:0182 = 1:82%: 2. Introdotti gli eventiB=Gabrio dichiara Grande Tichu; Ek= Gabrio riceve fra le prime 8 carte esattamentekcarte potenti; gli eventiE k, k= 0; : : : ;6risultano una partizione misurabile dell'evento certo e si ha B=6 [ k=2E k= ( E 0[ E 1)c ; per cuiP(B) = 1P(E 0) P(E 1) = 1 50 8
56 8
6 50 7
56 8
= 0:2001 = 20:01%: 3. PoichéE 2 Babbiamo P(E 2j B) =P (E 2)P (B)=( 6 2)(50 6)( 56 8)P (B)= 0 :16780 :2001= 0 :8384: 4. PoichéABabbiamo P(AjB) =P (A)P (B)= 0 :01820 :2001= 0 :0908: 5. Supponendo le carte ad ogni mano rimescolate e distribuite ai giocatori senza trucco e senza inganno,possiamo pensare che gli eventi Bn= Gabrio dichiara Grande Tichu alla manon; n= 1;2; siano indipendenti per cuiP(B 2j B 1) = P(B 2) = 0 :2001: 2 Problema 2. Un dispositivo elettronico genera una coppia di numeri casualiX 1e X 2con densità di probabilità congiunta X2n X 1 101 1p 222 p(1p)5(1 p)22 02 p(1p)52 p(1p)52 p(1p)5 1(1 p)222 p(1p)5p 22 dove il parametro ppuò essere regolato a piacere. (a) Determinare i valori ammissibili per il parametrop. Un secondo dispositivo elettronico elabora i numeri casualiX 1e X 2per ottenerne il prodotto M. (b) Calcolare legge, valore atteso e varianza diM. I costruttori di questi dispositivi invitano Bruno a scommettere suM. A fronte di una puntata pari a 1 e, egli perderà i soldi seMsarà negativo, riavrà la puntata se nullo e vincerà 2ese positivo. (c) Scrivere ricavoRe guadagnoGin funzione diM. (d) Per quali valori dipil gioco è equo? (e) Per quali valori dipi numeri casualiX 1e X 2sono indipendenti? (f ) Per quali valori dipi numeri casualiX 1e X 2hanno correlazione lineare massima ( jj= 1)? 3 Risultati. (a)0p1. (b)Mè variabile aleatoria reale discreta con densità k 101 p M( k)(1 p)22 p(1p)p 2valore atteso E[M] = 2p1 e varianzaVar(M) =E[M2 ]E[M]2 = 2p(1p): (c)R=8 > < > :0 ;seM=1; 1;seM= 0; 2;seM= 1;= M+ 1; G=R1 =M. (d) Il gioco è equo seE[G] = 0quindi perp= 1=2. (e) Condizione necessaria per l'indipendenza è la scorrelazione, quindiCov(X 1; X 2) = E[M] = 0, ovvero p= 1=2. Tuttavia perp= 1=2, pX1;X 2(1 ;1) =18 6 = 720  2 =p X1(1) p X2(1) per cui non esistepche rendaX 1e X 2indipendenti. (f ) Condizione necessaria e suciente perjj= 1è avereX 2= aX 1+ b, per qualchea6 = 0; b2R. Ciò implica avere al più un elemento diverso da 0 in ogni colonna della densità congiunta, quindippari a 0 o ad 1. In entrambi i casi risulta eettivamentejj= 1: p= 0 =)X 2= X 1q.c. =)=1, p= 1 =)X 2= X 1q.c. =)= 1. 4 Problema 3. Sia denita la funzionef:R!Rdata da f(x) =cx 3I (1;+1)( x); x2R: (a) Per qualic2Rla funzionefè una densità di probabilità? SiaXuna variabile aleatoria continua con densitàf. (b) Determinare il quantileq di Xper ogni ordine0<  :0 ;set0 t4 ;se0< t 4; Y >1=2 = 06 =P X >4 P Y >1=2 >0: 6