Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studio in Ingegneria Matematica - Laurea di Primo LivelloA.A. 2017/2018 II Appello di Probabilità- 20 luglio 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Pietro ha tre monete a disposizione, ciascuna con un crescente livello di trucco a favore della testa: una bianca equilibrata, una azzurra con probabilità di testa pari a 3/4, una blu con probabilità di testa pari a 7/8.Pietro ha tre lanci a disposizione. Al primo utilizza la moneta bianca. Ai lanci successivi utilizza la medesima del lancio precedente, se in quest'ultimo ha ottenuto testa, o la moneta con livello di trucco successivo, se invece ha ottenuto croce. SiaX kla variabile che indica se al lancio kesce testa,k= 1;2;3, e siaYil totale delle teste sui tre lanci. 1. Determinare la legge di(X 1; X 2; X 3) . 2. Quanto vale la probabilità di ottenere testa al terzo lancio sapendo di aver ottenuto testa al primoe al secondo lancio? 3. Quanto vale la probabilità di ottenere testa al terzo lancio sapendo di aver ottenuto testa al secondolancio? 4. Quanto vale la probabilità di ottenere testa al terzo lancio? 5. Le variabiliX kgodono della proprietà di Markov? 6. ScrivereYin funzione delle variabiliX 1, X 2e X 3. 7. Determinare la legge e il valore atteso diY. 1 Risultati. 1.(X 1; X 2; X 3) è un vettore aleatorio discreto di densità p(0;0;0) = 1=64 = 0:015625 p(0;0;1) = 7=64 = 0:109375 p(0;1;0) = 6=64 = 0:09375 p(0;1;1) = 18=64 = 0:28125 p(1;0;0) = 4=64 = 0:0625 p(1;0;1) = 12=64 = 0:1875 p(1;1;0) = 8=64 = 0:125 p(1;1;1) = 8=64 = 0:125 2.P(X 3= 1 jX 2= 1 ; X 1= 1) =12 = 0 :5. 3.P(X 3= 1 jX 2= 1) =P (X 3= 1 ; X 2= 1)P (X 2= 1)= 2664 6440 = 1320 = 0 :65. 4.P(X 3= 1) =4564 = 0 :703125. 5. Le variabiliX knon godono della proprietà di Markov: P(X 3= 1 jX 2= 1 ; X 1= 1) 6 =P(X 3= 1 jX 2= 1) : 6.Y=X 1+ X 2+ X 3. 7.Yè variabile aleatoria discreta di densità j0123 p Y( j)1 6417 6438 648 64 e con valore attesoE[Y] =11764 = 1 :83. 2 Problema 2. Data la famiglia di variabili aleatorie indipendenti N ; X1; X 2; : : : ; doveNha distribuzione di Poisson di media >0mentre leX khanno tutte distribuzione C(0; ), Cauchy di mediana 0 e parametro di scala >0, ovvero funzione caratteristica 'X( u) = expn jujo ; si considerino le variabili aleatorie Y=n X k=1X k; n 2N; W=N X k=1X k: 1. Calcolare la funzione caratteristica della sommaY. 2. Calcolare la funzione caratteristica della somma aleatoriaW. 3. Le variabiliYeWhanno anch'esse distribuzioni di Cauchy di mediana 0? Con quali parametri di scala? 4. Posto =1p  , calcolare il limite in legge di Wper! 1. 5. Posto =1 , calcolare il limite in legge di Wper! 1. 6. Posto =1 2, calcolare il limite in legge di Wper! 1. 3 Risultati. 1. La funzione caratteristica diYè 'Y( u) =' X( u)n = expn n jujo : 2. La funzione caratteristica diWè 'W( u) =1 X n=0E [ei uW jN=n]P(N=n) =1 X n=0exp n n jujo e nn != expn (1e juj )o 3.Yha distribuzione di Cauchy di mediana 0 e parametro di scalan . Wnon ha distribuzione di Cauchy di mediana 0 dato che' Wnon è la funzione caratteristica di una tale distribuzione. Infatti peru! 1si ha che' X( u)!0per ogni >0, mentre' W( u)!e  >0. 4. Per =1p  e ! 1si ha (1e juj ) jujp ! 1per ogniu6 = 0 per cui'W( u)! (u) =( 1;seu= 0; 0;seu6 = 0; dove è discontinua in 0 per cuiWnon ammette limite. 5. Per =1 e ! 1si ha (1e juj )! jujper ogniu per cui'W( u)! (u) = ej uj per cuiW! C(0;1). 6. Per =1 2e ! 1si ha (1e juj ) j uj ! 0per ogniu6 = 0 per cui'W( u)! (u) = 1 per cuiW!0. 4 Problema 3. Quattro!è un gioco da tavolo in cui una pedina si muove su un tabellone con cinque caselle, numerate da0a4. Per i movimenti si utilizzano quattro monete non truccate, recanti sulle due facce le scritteZero!eQuattro!, secondo le seguenti regole: Si parte dalla casella1. Si vince raggiungendo la casella 4. Si perde raggiungendo la casella 0. Se la pedina è su una casellak= 1;2;3, il movimento è deciso dal lancio di(k+ 1)monete: se si ottengono tuttiZero!, la pedina si sposta sulla casella0e il gioco termina con la scontta, se si ottengono tuttiQuattro!, la pedina avanza di una casella e il gioco continua (a meno che non venga raggiunta la casella 4, nel qual caso il gioco termina con la vittoria), in tutti gli altri casi, la pedina resta sull'attuale casellake il gioco continua. Il gioco può essere descritto da una catena di Markov a tempo discreto(X n) n0, dove X ndenota la casella occupata dalla pedina all'istanten. 1. Introdurre lo spazio degli statiEdella catena. Determinare la matrice di transizione associata e tracciarne il grafo. 2. Scrivere la legge diX 0. 3. Classicare gli stati della catena e individuare tutte le classi chiuse. 4. Calcolare la probabilità di vittoria. 5. Determinare la probabilità di vincere in esattamentempassi, perm= 1;2;3;4. Mario scommette1econ Leonardo che riuscirà vincere in non più di quattro passi. 6. Calcolare la probabilità con cui Mario vincerà la scommessa e il guadagno atteso. 5 Risultati. 1.E=f0;1;2;3;4g,P=0 B B B B @1 0 0 0 0 1=4 1=2 1=4 0 0 1=8 0 3=4 1=8 0 1=16 0 0 7=8 1=16 0 0 0 0 11 C C C C A. 2.X 0 v 0, v 0= (0 ;1;0;0;0). 3. Gli stati 0 e 4 sono assorbenti e quindi ricorrenti, gli stati 1,2,3 sono transitori. Tutti gli stati sonoaperiodici. Le classi chiuse sono:f0g;f4g;f0;4g; E. 4. Il vettore= ( i) i2Edelle probabilità di ingresso nella classe chiusa f4gpartendo dallo statoi risolve il sistema8 > > > > > > < > > > > > > : 0= 0 1= p 11 1+ p 12 2 2= p 22 2+ p 23 3 3= p 33 3+ p 34 4= 1 che ha soluzione= (0;18 ;14 ;12 ; 1). Dunque la probabilità di vittoria è pari a18 . 5. La probabilità cercata è pari aP( 4= m), perm= 1;2;3;4, ove 4= min fn1 :X n= 4 g. Dunque P( 4= 1) = P( 4= 2) = 0 P( 4= 3) = P(X 3= 4) = p 12p 23p 34=12 9= 0 :00195 P( 4= 4) = P(X 3= 3 ; X 4= 4) = p 12p 23p 34( p 11+ p 22+ p 33) =172 12= 0 :00415 6. La probabilità con cui Mario vincerà la scommessa è pari ap=P(X 4= 4) =252 12 = 0 :00610. Detta Xla variabile aleatoria che indica il guadagno di Mario (in Euro), si ha X=( 1;con prob.p; 1;con prob.1p;E [X] = 2p1 =0:9878: 6