Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studio in Ingegneria Matematica - Laurea di Primo LivelloA.A. 2017/2018 III Appello di Probabilità- 13 settembre 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Date due variabili aleatorie indipendentiXedY, entrambe esponenziali di parametro  >0, consideriamo la variabile aleatoria reale Z=Xmax fX; Yg: 1. Mostrare cheZè ben denita quasi certamente. 2. CalcolareP(Z= 1). 3. CalcolareP(Z= 1=2). 4. Trovare un intervallo chiuso e limitato[a; b]tale cheP(aZb) = 1. 5. Calcolare la funzione di ripartizione diZe tracciarne un graco qualitativo. 6. La variabileZè continua? É discreta? 1 Risultati. 1.Zè ben denita semaxfX; Yg 6= 0, dove P maxfX; Yg 6= 0 = 1P maxfX; Yg= 0 = 1P X= 0; Y= 0 = 1 essendoXedYvariabili aleatorie continue. 2.P(Z= 1) =P maxfX; Yg=X =P(XY) = 0:5, dove l'ultimo passaggio vale per simmetria e continuità del vettore(X; Y). 3.P(Z= 1=2) =P X=12 Y = 0, dove l'ultimo passaggio vale per la continuità del vettore(X; Y). 4.P(aZb) = 1per ogni[a; b][0;1]. 5. Per ogni0< t Y =P XtY ; X < Y +P XtX; X > Y =P XtY =Z +1 0 Z yt 0 2 expn (x+y)o dx dy=t1 + t per cui la funzione di ripartizione diZè FZ( t) =8 > > < > > :0 ;pert0; t1 + t; per0t