Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studio in Ingegneria Matematica - Laurea di Primo LivelloA.A. 2017/2018 IV Appello di Probabilità- 28 gennaio 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.L'allibratore Tatsuo deve stabilire le quoteq iper le scommesse sul risultato della prima partita fra la squadra di Shingo e quella di Teppei. Come al solito, la quotaq iè la vincita di chi ha scommesso un capitale unitario sui, nel caso in cuiisi verichi. SianoA 1, A 2e A Xgli eventi indicanti i tre possibili risultati i= 1;2; X. SiaYla vincita di uno scommettitore che ripartisce un capitale unitario fra le tre scommesse, giocandoc 1sul risultato 1, c 2su 2ec Xsu X. OvviamenteP ic i= 1 . 1. Scrivere la vincitaYe la vincita attesaE[Y]in funzione diq i, c ie A i. 2. Determinare le quoteq iin modo tale che: le quoteq isiano inversamente proporzionali alle corrispondenti probabilità P(A i) , la vincita attesaE[Y]sia pari av >0. Si usino d'ora in poi le quote appena trovate. SianoReGil ricavo e il guadagno del nostro scommettitore. 3. Scrivere il ricavoR, il ricavo attesoE[R], il guadagnoGe il guadagno attesoE[G]in funzione div, cie A i. 4. Per quali valori divla scommessa è a vantaggio di Tatsuo, è equa, è a vantaggio dello scommettitore? 5. Quale ripartizionec 1, c 2, c Xdà una vincita Ydeterministica? Secondo Tatsuo i risultati della prima partita fra la squadra di Shingo e quella di Teppei hanno le seguenti probabilità i12X P (A i)0.20.50.31 6. Trovare le quoteq iche danno v= 0:9. 1 Risultati. 1.Y=X iq ic iI Ai; E[Y] =X iq ic iP (A i) . 2.( qi= =P(A i) P iq ic iP (A i) = v= )q i=vP (A i): 3.R=Y=vX ic iP (A i)I Ai; E[R] =E[Y] =v, G=R1 =vX ic iP (A i)I Ai 1;E[G] =v1. 4. Perv 1è a vantaggio dello scommettitore. 5.( q1c 1= q 2c 2= q 3c 3= v P ic i= 1= )c i= P(A i) : 6. Le quote che dannov= 0:9sono i12X P (A i)0.20.50.31 q i4.51.83 2 Problema 2. SianoX 1e X 2variabili aleatorie reali indipendenti, entrambe con distribuzione di Laplace, di parametri di posizione k2 Re di scalab k> 0non necessariamente uguali. Pertanto ogniX kè una variabile continua con media, varianza, densità, funzione di ripartizione e funzione caratteristica pari a: E[X k] =  k; Var(X k) = 2 b2 k; f Xk( x) =12 b kexp j x kjb k ; FXk( t) =8 < :12 expn t kb ko ;set k; 112 expn t  kb ko ;set k;' Xk( u) =e i  ku1 + b2 ku 2: SianoY1= X 1+ X 2; Y 2= X 1 X 2: 1. Trovare la funzione caratteristica congiunta diY 1e Y 2. 2. Trovare le funzioni caratteristiche marginali diY 1e Y 2. 3. Per quali valori dei parametri 1; b 1;  2; b 2le variabili Y 1e Y 2sono scorrelate? 4. Per quali valori dei parametri 1; b 1;  2; b 2le variabili Y 1e Y 2sono indipendenti? 5. Calcolare il limite in legge diY 1per  1; b 1;  2ssati e b 2! 0. 6. CalcolareP(X 1> X 2) nel caso 1= 0 ;  2=  >0; b 1= b 2= b >0. 3 Risultati. 1. PoichéY= Y1 Y2 = 1 1 11  X1 X2 =A X abbiamo '(Y 1;Y 2)( u 1; u 2) = ' AX( u) =' X( AT u) =' X( u 1+ u 2; u 1 u 2) = ' X1( u 1+ u 2) ' X2( u 1 u 2) =expn i 1( u 1+ u 2) +  2( u 1 u 2)o 1 +b2 1( u 1+ u 2)2 1 +b2 2( u 1 u 2)2 : 2.' Y1( u) =' (Y 1;Y 2)( u;0) =expn i( 1+  2) uo 1 +b2 1u2 1 +b2 2u2 , 'Y2( u) =' (Y 1;Y 2)(0 ; u) =expn i( 1  2) uo 1 +b2 1u2 1 +b2 2u2 . 3.Cov(Y 1; Y 2) = Var( X 1) Var(X 2) = 2 b2 1 2b2 2per cui Y 1e Y 2sono scorrelate se e solo se b 1= b 2. 4. Condizione necessaria per l'indipendenza è la scorrelazione per cui consideriamob 1= b 2= b >0. In questo caso però '(Y 1;Y 2)( u 1; u 2)' Y1( u 1) ' Y2( u 2)= 1 +b2 u2 1 1 +b2 u2 1 1 +b2 u2 2 1 +b2 u2 2 1 +b2 (u 1+ u 2)2 1 +b2 (u 1 u 2)2 è il rapporto di polinomi inu 1e u 2di grado diverso per ogni b >0ssato, quindi il rapporto non può essere costantemente uguale a 1, e quindiY 1e Y 2non sono mai indipendenti. 5. Perb 2! 0, 'Y1( u) =expn i( 1+  2) uo 1 +b2 1u2 1 +b2 2u2 !expn i( 1+  2) uo 1 +b2 1u2 quindiY 1tende a una Laplace di parametro di posizione  1+  2e parametro di scala b 1. 6. Per 1= 0 ;  2=  >0; b 1= b 2= b >0vale P X1> X 2 =Z +1 1d x 1Z x1 1d x 2f 1( x 1) f 2( x 2) =Z +1 1f 1( x)F 2( x) dx=12 e =b 1 +2 b : 4 Problema 3. Un dado equilibrato viene lanciato ripetutamente no a ottenere il primo risultato diverso da 1. SiaWtale risultato, che chiamiamo risultato di undado truccato senza 1. 1. Mostrare cheWha distribuzione uniforme suf2;3;4;5;6g. SiaX n, n0, la catena di Markov ottenuta partendo col risultatoX 0di un dado equilibrato per poi proseguire lanciando dadi truccati: se al passonsi ottieneX n= k, allora il risultatoX n+1è dato dal lancio di undado truccato senzak. 2. Introdurre lo spazioEdegli stati, la distribuzione inizialev(0) e la matrice di transizioneP. 3. Classicare gli stati della catena ed elencare tutte le classi chiuse. 4. Determinare le distribuzioni invarianti. 5. CalcolareP(X 135= 6) . 6. CalcolareP(X n= 6 jX 0= 6) pern= 0;1;2. 7. Calcolare, se esiste,lim n!1P (X n= 6 jX 0= 6) . 5 Risultati. 1.Wha la stessa distribuzione del primo risultatoVdiverso da 1 in una successioneY n, n1, di risultati di lanci indipendenti. Essendo leY ni.i.d. con distribuzione unifome su 1; : : : ;6, allora, per ognik= 2; : : : ;5, P(W=k) =P(V=k) =1 X n=1P  Yn= k; Y n1= 1 ; : : : ; Y 1= 1 =1 X n=116 n=11 1=6 1 =15 : 2.E=f1; : : : ;6g, v(0) = 1=6 1=6 1=6 1=6 1=6 1=6
; P=0 B B B B B B @0 1 =5 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 0 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 0 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 0 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 0 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 1=5 01 C C C C C C A 3.p(2) ij> 0per ogni coppia di statiiej, quindiPè regolare e pertanto la catena è irriducibile e aperiodica. Di conseguenza l'unica classe chiusa èE. 4. Esiste una sola distribuzione invariante che è= 1=6 1=6 1=6 1=6 1=6 1=6
. 5. Essendov(0) =invariante, P X135= 6 =P X0= 6 =16 : 6.P X0= 6  X 0= 6 = 1; P X1= 6  X 0= 6 =p 66= 0 ; P X2= 6  X 0= 6 =p(2) 66=15 : 7. Essendo la catena irriducibile e aperiodica, il limite esiste e valelim n!1P Xn= 6  X 0= 6 = 6=16 : 6