Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studio in Ingegneria Matematica - Laurea di Primo LivelloA.A. 2017/2018 V Appello di Probabilità- 18 febbraio 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Problema 1.Si consideri una successione di variabili aleatorie discreteX n, n2N, di densità rispetti- vamente pn( n) =12 n; p n(0) = 1 1n : 1. Calcolare il valore attesoE[X n] , la varianzaVar(X n) ed i rispettivi limiti pern! 1. 2. Calcolare la funzione caratteristica' Xn( u). 3. Studiare il limite in legge diX nper n! 1. Si supponga ora che la successioneX n, n2N, costituisca una famiglia di variabili indipendenti, e si considerino le successioniX n=1n n X k=1X k; Y n=1n 2n X k=1X k: 4. Calcolare il valore attesoE[X n] , la varianzaVar(X n) ed i rispettivi limiti pern! 1. 5. Calcolare il valore attesoE[Y n] , la varianzaVar(Y n) ed i rispettivi limiti pern! 1. 6. Studiare il limite in legge diY nper n! 1. 1 Risultati. 1.E[X n] = 0 !0;Var(X n) = n! 1. 2.' Xn( u) = 11n + 12 ne i nu +12 ne inu = 11n  1cos nu
 . 3. Abbiamo che' Xn( u)!1per ogniu2Re che, in alternativa,p n( k)! 0( k)per ognik2Z. QuindiX n! 0in legge. 4.E[X n] = 0 !0;Var(X n) =n + 12 n! 12 . 5.E[Y n] = 0 !0;Var(Y n) =n + 12 n3! 0. 6. Per il punto precedenteY n! 0inL2 e quindi anche in legge. 2 Problema 2. Siano(X; Y)un vettore aleatorio continuo di densità f(X;Y)( x; y) = 12xy(1y)I (0;1)2 (x; y): 1. Quanto vale la covarianzaCov(X; Y)? SianoS=X; T=X Y2 : 2. Mostrare che(S; T)è un vettore aleatorio. 3. In quale regioneDdel piano possiamo trovare q.c. il vettore(S; T)? 4. Mostrare che(S; T)è un vettore aleatorio continuo. 5. Calcolare la densità di(S; T). 6. Calcolare la densità diT. 3 Risultati. 1. LaCov(X; Y)è ben denita perchéX; Y2[0;1]q.c. e quindiX; Y2L2 . Cov(X; Y) = 0dato cheXedYsono indipendenti, avendo densità congiunta fattorizzata. 2.(S; T)è un vettore aleatorio perché(S; T) =h(X; Y)dove la trasformazioneh(x; y) = (x; xy2 )è continua daR2 inR2 e quindi boreliana. 3. Dato che(X; Y)2(0;1)2 q.c., il vettore(S; T)assume valori q.c. nel triangoloD: D=h (0;1)2 =n (s; t) : 0< s < > : 1= 1 +12  1 2= 1 +12  1+14  2 3= 1 +38  1+38  2+18  3 per cui 1= 2 , 2= 8 =3 = 2:67e l'attesa cercata è 3= 22 =7 = 3:14. 6