Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione I Prova in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica15 aprile 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1.La signora Yellow è stata misteriosamente assassinata. Il Commissario Ferrero ha scoperto che tre giorni prima di essere uccisa la signora aveva minacciato di licenziamento Ambrogio, il maggior- domo. Interrogato da Ferrero, Ambrogio adduce in propria discolpa l'ultima indagine del Giornale della Sera: tra i maggiordomi minacciati di licenziamento, solo 1 ogni5
000uccide la signora per cui lavora. Il Commissario Ferrero non è però persuaso dall'argomento di Ambrogio! Serve valutare la probabilità che una signora venga uccisa dal proprio maggiordomo alla luce di tutto quanto si sa in questo caso: la signora lo ha minacciato di licenziamento e la signora è stata eettivamente uccisa. Ferrero considera quindi gli eventi A:una signora minaccia di licenziamento il proprio maggiordomo, B:una signora viene uccisa dal proprio maggiordomo, C:una signora viene uccisa da qualcuno che non è il proprio maggiordomo. Ferrero a questo punto chiede il vostro aiuto.1. Esprimere in funzione diA,BeCla probabilità fornita dal Giornale della Sera e calcolarla. 2. Quali eventi fraA,BeCpossono essere ritenuti incompatibili? 3. Quali eventi fraA,BeCpossono essere ritenuti indipendenti? 4. Esprimere in funzione diA,BeCl'eventoD:una signora viene uccisa. 5. Esprimere la probabilità condizionataP(BjA; D)in funzione solo diP(BjA)eP(C). Negli archivi del Commissariato tuttavia Ferrero non trovaP(C). Trova però che 1 donna ogni100
000 muore assassinata. 6. Limitare (dal basso o dall'alto) il valore diP(BjA; D). 7. È il caso che Ferrero continui ad indagare su Ambrogio? 1 Risultati. 1.P(BjA) =15
000= 0 :0002 = 0:02% 2.B\C=; 3.A??C 4.D=B[C 5.P(BjA; D) =P (B; A; D)P (A; D)= P (B; A)P (B; A) +P(C; A)= 11 + P (C;A)P (B;A)= 11 + P (CjA)P (BjA)= 11 + P (C)P (BjA) 6. PoichéP(C)P(D) =1100
000, vale P(BjA; D)11 + P (D)P (BjA)= 11 + 5100 = 2021 = 0 :9524 = 95:24% 7. Sì é il caso che Ferrero continui ad indagare su Ambrogio. 2 Esercizio 2. A causa di un improrogabile aggiornamento di software, oggi 15 aprile 2019 il call center della RUN non potrà avviare la risposta a nessuna delle chiamate in coda fra le 20:00 e le 20:01. Per tanto alleXchiamate già in coda alle 20:00, si sommeranno leYnuove chiamate che si aggiungeranno in coda fra le 20:00 e le 20:01, dando un totale diZ=X+Ytelefonate in coda alle 20:01 per il riavvio del servizio. Sappiamo che Xè casuale con distribuzione geometrica traslata di parametrop= 0:1, ovvero pX( k) =p(1p)k ; k= 0;1;2; : : :E[X] =1 pp ; Var(X) =1 pp 2; p = 0:1; Yè casuale con distribuzione di densitàj012 p Y( j)0 :250.250.5  XedYsono indipendenti. 1. Si calcolino media e varianza diY. 2. Si calcoli la probailità di avere al massimo una chiamata in coda alle 20:01. 3. Si calcolino media e varianza diZ. 4. Si trovi la distribuzione congiunta diXeZ. 5. Quanto valeCov(X; Z)? 6.XeZsono indipendenti? 3 Risultati. 1. E[Y] =2 X j=0j p Y( j) = 1:25; E[Y2 ] =2 X j=0j 2 pY( j) = 2:25; Var(Y) =E[Y2 ]E[Y]2 = 0:6875: 2. PoichéZ=X+Y, sfruttando l'indipendenza diXeY, si ottiene P(Z1) =P(X=Y= 0) +P(X= 0; Y= 1) +P(X= 1; Y= 0) =p0:25 +p0:25 +p(1p) 0:25 = 0:0725: 3. PoichéZ=X+Y, sfruttando l'indipendenza diXeY, si ottiene E[Z] =E[X] +E[Y] =1 pp + 1 :25 = 9 + 1:25 = 10:25; Var(Z) = Var(X) + Var(Y) =1 pp 2+ 0 :68751 = 90 + 0:6875 = 90:6875: 4.(X; Z)è un vettore aleatorio discreto a valori inZ2 +q.c. con densità p(X;Z)( k; `) =P(X=k; Z=`) =P(X=k)P(Y=`k) =8 > > > < > > > :0 :25p(1p)k ;se`=k; 0:25p(1p)k ;se`=k+ 1; 0:5p(1p)k ;se`=k+ 2; 0;altrimenti: 5. PoichéZ=X+Y, sfruttando l'indipendenza diXeY, si ottiene Cov(X; Z) = Cov(X; X) + Cov(X; Y) = Var(X) = 90: 6.XeZnon sono indipendenti perchè sono correlate. 4 Esercizio 3. Il noto sico sperimentale L. Hofstadter deve misurare il tempoTdi percorrenza di un segnale attraverso un canale di comunicazione. Tale tempoTè casuale con distribuzione continua di densità (misurando il tempo in millisecondi) fT( t) =8 > > > > < > > > > :32 t 2 ;se0t