Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - AA 2018/2019 II Prova in Itinere di Probabilità per Ingegneria Matematica - 21 giugno 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1.Si consideri il vettore aleatorioX= (X 1; X 2) di funzione caratteristica 'X: R2 !C; ' X( u 1; u 2) = 41 cos(u 1+ u 2)( u 1+ u 2)21 cosu 2u 2 2: Ovviamente' Xè denita per continuità dove si annulla il denominatore. 1. Trovare le funzioni caratteristiche marginali' X1e ' X2. 2. Sapendo cheX 1è integrabile, calcolarne il valore atteso. 3. Vericare cheX 1è una variabile aleatoria continua di densità triangolare f X1( s) = 1jsj I[1;1]( s). Si consideri il vettore aleatorio Y= Y1 Y2 = 1 0 a1  X1 X2 ; a2R: 4. Trovare la funzione caratteristiche' Y, ' Y1e ' Y2al variare del parametro a. 5. Trovare i valori diache rendono indipendentiY 1e Y 2. 1 Risultati. 1.'X1( u 1) = 21 cosu 1u 2 1; ' X2( u 2) = 4 1cosu 2u 2 2 2 =' X1( u 2)2 : 2.E[X 1] = i'0 1(0) = i 2u 1sin u 1 2 + 2 cosu 1u 3 1   u1=0= 0 : Del restoE[X 1] e'0 1(0) sono numeri reali, per cui devono necessariamente annullarsi. 3. SiaWuna variabile aleatoria continua di densità triangolaref W( s) = 1 jsj I[1;1]( s). Allora 'W( u) =Z +1 1e i us fW( s) ds=Z 1 1 cos(us) + i sin(us)  1 jsj ds =Z 1 1cos( us) 1 jsj ds= 21 cosuu 2= ' X1( u) per cuiX 1ha la stessa legge di W. 4. PostoY=A Xsi trova 'Y( v 1; v 2) = ' X( AT v) =' X( v 1+ av 2; v 2) = 41 cos v1+ (1 + a)v 2 v1+ (1 + a)v 2 21 cosv 2v 2 2: 'Y1( v 1) = 21 cosv 1v 2 1; ' Y2( v 2) =8 > > > > > > > < > > > > > > > :4 1 cos (1 +a)v 2 (1 +a)v 2 21 cosv 2v 2 2; sea6 = 1; 21 cosv 2v 2 2; sea= 1: 5.Y 1e Y 2sono indipendenti se e solo se ' Y( v 1; v 2) = ' Y1( v 1) ' Y2( v 2) per ogniv2R2 , che accade se e solo sea=1: sea=1, allora' Y( v 1; v 2) = ' Y1( v 1) ' Y2( v 2) , sea6 =1, allora' Y( v 1; v 2) 6 =' Y1( v 1) ' Y2( v 2) , dato che' Y1( v 1) ' Y2( v 2) si annulla per ogniv 2nel caso v 1= 2 , ma la stessa cosa non accade a' Y( v 1; v 2) . 2 Esercizio 2. Data una successioneX n, n2N, di variabili i.i.d. con leggeN(; 2 ),2R, >0, si considerino le corrispondenti successioni di medie campionarieX ne di varianze campionarie S2 n. Quindi si consideri la successione Yn=X n S n; n 2: 1. CalcolareE[Y n] per ognin2. 2. Mostrare cheY nconverge quasi certamente per n! 1e calcolarne il limite. 3. Studiare l'asintotica normalità e la velocità di convergenza diY n. Indicata conla funzione di ripartizione di una normale standard, si consideri ora la successione Wn= ( Y n) = X n S n : 4. Mostrare cheW nconverge quasi certamente per n! 1e calcolarne il limite. 5. Studiare l'asintotica normalità e la velocità di convergenza diW n. 6. In quali altri sensi esiste il limite diW nper n! 1? 3 Risultati. 1.E[Y 2] non esiste, mentreE[Y n] = 0 per ognin3. Infattipn Y n t(n1)per ognin2. In alternativa, pern3, si ha1S n2 L1 e quindi, sfruttando l'indipendenza diX ne S n, si trova E[Y n] = E[X n ]Eh 1S ni = 0: 2.Y n! 0quasi certamente, dato cheX n! q.c. eS2 n! 2 q.c.. 3.Y n AN 0;1n
, dato chepn Y n t(n1)!N(0;1). In alternativa, per il TCL e Slutsky, pnY n=X n = pn
S n! N(0;1): Di conseguenzaY n! 0con velocitàpn . 4.W n= X n S n !(0) = 1=2q.c. per la Legge dei Grandi Numeri e per la continuità di. 5. EssendoY n AN 0;1n
, ed essendo(t)una funzioneC1 con derivata 0 (t) =e t 22 p 2 6 = 0 per il Metodo Delta 1 possiamo concludere che Wn AN 12 ; 12 n : Di conseguenzaW n! 1=2con velocitàpn . 6.W n! 1=2anche in probabilità e legge perché già converge q.c.. InoltreW n! 1=2anche inLp , per ognip1, per convergenza dominata:jW nj  1per ognin. 4 Esercizio 3. Il Dott. L. Litt, avvocato presso lo studio del Dott. H. Specter, deve gestire la vendita all'asta di 3 beni per una pratica di cui è curatore fallimentare. Ad ogni singola asta, l'avvocato metterà in vendita tutti i beni che egli non sia riuscito a liquidare nel tentativo precedente, nché non avrà concluso la pratica. Si può supporre che, per la tipologia di beni considerata, ogni asta sia indipendente dalle altre e che, in ciascuna asta, la vendita di ogni singolo bene sia indipendente dalle altre. Siap2(0;1)la probabilità di vendere un singolo bene in un'asta e sia(X n) n0la catena di Markov in cuiX 0= 3 e, pern1,X nindica la quantità di beni ancora da vendere dopo l' n-esima asta. 1. Scrivere lo spazio di statoE, la legge inizialev, la matrice di transizionePe il grafo della catena. 2. Classicare gli stati della catena ed elencare tutte le classi chiuse. 3. Con quale probabilità l'avvocato chiuderà la pratica? 4. Calcolare il numero atteso di aste con cui l'avvocato chiuderà la pratica.Controllare i limiti del risultato perp!0e perp!1. Il Dott. Litt chiede al Dott. H. Specter un lauto bonus qualora riesca a chiudere la pratica entro la seconda asta. Per il direttore la richiesta sarebbe ammissibile solo se la probabilità di chiudere entro la seconda asta fosse inferiore al 20%. Dai dati storici, ricava quindi chepè pari a0:8. 5. Con quale probabilità il Dott. Litt potrà chiudere la pratica entro la seconda asta? 6. Il Dott. Specter accetterà la richiesta di bonus del Dott. Litt? 5 Risultati. 1.E=f0;1;2;3g,X 0 v; v= (0;0;0;1),P=2 6 6 41 0 0 0 p1p0 0 p2 2p(1p) (1p)2 0 p3 3p2 (1p) 3p(1p)2 (1p)33 7 7 5. 2.0è uno stato assorbente e quindi ricorrente e aperiodico;1;2;3sono stati transitori e aperiodici. Le classi chiuse sonof0g;f0;1g;f0;1;2g;f0;1;2;3g=E. 3. Probabilità pari a1, perché0è l'unico stato ricorrente. 4. Il numero di aste con cui l'avvocato chiuderà la pratica èT= inffn1 :X n= 0 g. Allora, posto i= E[TjX 0= i]il numero atteso di aste partendo al tempo 0 con un numero transitorioidi beni da vendere, sappiamo che deve valere 8 > < > : 1= 1 + (1 p) 1 2= 1 + 2 p(1p) 1+ (1 p)2 2 3= 1 + 3 p2 (1p) 1+ 3 p(1p)2 2+ (1 p)3 3()8 > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > : 1=1p 2=3 2pp (2p) 3=11 19p+ 12p2 3p3(2 p) 1(1p)3 PoichéX 0= 3 , il tempo medio impiegato per chiudere la pratica è pari a 3. Come ci si aspetta,lim p!0 3= 1elim p!1 3= 1 . 5.P(T2) =P(X 2= 0) = ( vP2 )0=3 X k=0p 3jp j0= p3 (2p)3 = 0:963 = 0:884736. 6. PoichéP(X 2= 0) = 0 :884736>0:2, il Dott. Specter non accetterà la richiesta del Dott. Litt. 6