Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - AA 2018/2019 II Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 16 luglio 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1.SianoX 1e X 2variabili aleatorie indipendenti di legge uniforme sull'intervallo [2;4]. 1. Calcolare mediae varianza2 diX 1e X 2. SianoY1= X 1; Y 2= X 1X 2: 2. CalcolareVar(Y 2) . 3. CalcolareCov(Y 1; Y 2) . 4. Provare cheY 1e Y 2sono congiuntamente continue. 5. Calcolare la densità congiunta diY 1e Y 2. 6. Le variabiliY 1e Y 2sono indipendenti? 1 Risultati. 1.= 3; 2 = 1=3. 2.Var(Y 2) = E[X2 1X2 2] E[X 1X 2]2 =4 + 22 2 =559 . 3.Cov(Y 1; Y 2) = E[X2 1X 2] E[X 1] E[X 1X 2] = 2 = 1. 4.Y 1e Y 2sono congiuntamente continue perché (Y 1; Y 2) = h(X 1; X 2) , doveX 1e X 2sono congiunta- mente continue perché continue e indipendenti, e dove h: [2;4]2 !R2 ;(t 1; t 2) = h(s 1; s 2) = ( s 1; s 1s 2) ; èC1 e iniettiva con matrice jacobianaJ h( s 1; s 2) = 1 0 s2s 1 di determinatedetJ h( s 1; s 2) = s 1che non si annulla mai per(s 1; s 2) 2[2;4]2 . 5. L'immagine dihè B=h([2;4]2 ) =n (t 1; t 2) 2R2  2 t 1 4;2t 1 t 2 4t 1o dovehha inversa g:B![2;4]2 ; g(t 1; t 2) = ( t 1; t 2=t 1) ; per cuif(Y 1;Y 2)( t 1; t 2) =14 t 1I B( t 1; t 2) : 6. Le variabiliY 1e Y 2non sono indipendenti. Sono infatti correlate e la loro densità congiunta non si fattorizza. 2 Esercizio 2. Si consideri il vettore aleatorio gaussiano 0 @X YZ1 AN0 @0 @1 0 11 A;0 @1 1 1 1 2 0 1 0 21 A1 A: 1.X; Y ; Zcostituiscono una famiglia di variabili indipendenti? 2. Determinare la legge condizionata di(Y ; Z)sapendo cheX=s. 3. DeterminareE[Z2 jX=s], il momento secondo diZsapendo cheX=s. 4. DeterminareE[Y ZjX=s], il momento secondo misto diYeZsapendo cheX=s. 5. DeterminareE[(Y ; Z)jX], l'attesa condizionata del vettore(Y ; Z)datoX. 6. Stabilire seE[(Y ; Z)jX]è gaussiano. 7. DeterminareE[(Y Z; Z2 )jX], l'attesa condizionata del vettore(Y Z; Z2 )datoX. 8. Stabilire seE[(Y Z; Z2 )jX]è gaussiano. 3 Risultati. 1.X; Y ; Znon sono indipendenti perchéCov(X; Y) = 16 = 0. 2. Per le proprietà dei vettori normali,Y Z   X =sN s1 s2 ; 11 1 1 ; dato cheE Y Z   X =s = 0 1 + 1 1 (s1) = s1 s2 ; Var Y Z   X =s = 2 0 0 2 + 1 1 1 1
= 11 1 1 : 3.E[Z2 jX=s] = Var(ZjX=s) +E[ZjX=s]2 = 1 + (s2)2 =s2 4s+ 5. 4.E[Y ZjX=s] = Cov(Y ; ZjX=s) +E[YjX=s]
E[ZjX=s] = (s1)(s2)1 =s2 3s+ 1. 5.E Y Z   X = X1 X2 . 6.E[(Y ; Z)jX]è gaussiano perché trasformazione ane diXgaussiana. 7.E Y Z Z2   X = (X1)(X2)1 1 + (X2)2 . 8.E[(Y Z; Z2 )jX]non è gaussiano perché1 + (X2)2 1q.c. senza essere degenere. 4 Esercizio 3. Il laboratorioEMsta studiando come evolve l'energia dei fotoni emessi da una certa sorgente. Sia quindiX nl'energia dell' n-esimo fotone emesso, doven= 0;1; : : :, e doveX npuò valere solo1;2;3;4o5(ssata oppurtunamente l'unità di misura). Gli scienziati hanno appurato che la risultante catena(X n) n0è di Markov con matrice di transizione P=2 6 6 6 6 6 6 40 1 0 0 0 p0 3q0 0 2p012 p0q 12 q012 0 q 0 0 0 1 03 7 7 7 7 7 7 5; p; q 2R: 1. Determinare i valori ammissibili per i parametrip; qe tracciare il grafo della catena. 2. Classicare gli stati della catena ed elencare tutte le classi chiuse. 3. Calcolare le distribuzioni invarianti della catena. A inizio esperimento si rileva un fotone di energiaX 0= 1 . 4. Calcolare moda, media e varianza dell'energiaX 2del fotone per n= 2. 5. È possibile denire l'energia media dei fotoni emessi comeE = lim n!11n +1P n k=0X k? Con quale tipo di limite? Nel caso, quanto vale la legge diE ? 6. Alla lunga quale percentuale dei fotoni emessi avrà energia massima? 5 Risultati. 1.Pdeve essere stocastica, pertanto 8 > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > :p; q 0 12 p0 12 q0 p+ 3q= 1 p+q=12 () p=q=14 () P=2 6 6 6 6 6 6 6 6 40 1 0 0 0 14 0 34 0 0 12 0 14 0 14 14 0 12 0 14 0 0 0 1 03 7 7 7 7 7 7 7 7 5 2. La catena è irriducibile, dunque soloEè classe chiusa, e tutti gli stati sono ricorrenti e hanno medesimo periodo. Poichép 33> 0, tale periodo è pari a1, dunque la catena è aperiodica. 3. Poiché la catena è irriducibile esiste un'unica probabilità invarianteche soddisfa 8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > : 1=14  2+12  3+14  4 2=  1 3=34  2+14  3+12  4 4=  5 5=14  3+14  4 1 = 1+  2+  3+  4+  5 pertanto= 729 ; 729 ; 929 ; 329 ; 329  . 4. SiccomeX 0 v= (1;0;0;0;0), P(X 2= k) = (vP2 )k= p 12p 2k=8 > > > > < > > > > :14 ; k = 1; 34 ; k = 3; 0;altrimenti; quindiX 2ha moda pari a 3, media E[X 2] =52 e varianza Var(X 2) =34 . 5. Poiché la catena è irriducibile, per il teorema ergodico1n +1P n k=0X kconverge q.c. 1n + 1n X k=0X kq.c. !X i2Ei  i=7529 : PertantoE =7529 q.c. ovveroE 7529 . 6. Poiché la catena è irriducibile, per il teorema ergodico la frazione dei primin+ 1fotoni emessi con energia massima, ovvero1n +1P n k=0I (X k=5), converge q.c. per n! 1: 1n + 1n X k=0I (X k=5)q.c. ! 5=329 = 0 :1034: Pertanto q.c. alla lunga il10:34%dei fotoni emessi avrà energia massima. 6