Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - AA 2018/2019 III Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 30 agosto 2019 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1.Si lancia una moneta con probabilità diTestapari ap,0< p 1 . 5. Calcolare le leggi marginali diY,PX ePX 2 , disegnando un graco delle loro (eventuali) densità. 3 Risultati. 1. Il vettore aleatorioYnon è continuo perchéYassume valori q.c. nella parabola p=n (x 1; x 2) : x 2= x2 1o che ha dimensione11 =P X >qp 5 12  = e 2qp 5 12 = 0:1082. 5.X E(2)per ipotesi. Calcolando la funzione di ripartizione diX2 si trova FX2 (t) =P(X2 t) =P(Xpt )I [0;1)( t) = 1e 2pt  I[0;1)( t) che èC0 ovunque eC1 pert6 = 0, per cuiX2 è variabile aleatoria continua con densità fX2 (t) =dd tF X2 (t) =e 2pt p t I [0;1)( t): 4 Esercizio 3. Sara e Fausto si stanno per sdare aVantaggio, gioco dalle regole molto semplici: ad ogni turno si lancia una moneta equilibrata, se esce testa, Sara riceve 1eda Fausto, altrimenti è Fausto a ricevere 1eda Sara, il gioco si conclude appena uno dei due ha accumulato 2e, risultando così il vincitore. Immaginando che la moneta venga continuamente lanciata anche dopo la conclusione del gioco, per ogni n0poniamoX npari al guadagno di Sara prima dell' (n+1)-esimo dado, ovvero a valle dell'n-esimo dado. Il gioco viene così descritto dalla catena di Markov(X n) n0con spazio degli stati E=f2;1;0;1;2g. 1. Introdurre la matrice di transizione e il grafo della catena. 2. Classicare gli stati della catena ed elencarne tutte le classi chiuse irriducibili. 3. Con quale probabilità sarà Sara a vincere il gioco? 4. Mostrare per induzione cheX n v( n) , dove v( n) =8 > < > : 2k 12 k +1012 k 02 k 12 k +1 ;sen= 2k; k0;ossianpari; 2k 12 k +112 k +1012 k +12 k 12 k +1 ;sen= 2k+ 1; k0;ossiandispari: 5. Con quale probabilità il gioco durerà almeno 5 turni, ovvero nirà al quinto turno o successivi? 6. Calcolare la funzione caratteristica' Xndi X nper ogni n0. 7. Studiare il limite in legge diX n. 5 Risultati. 1.P=0 B B B B @1 0 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 0 11 C C C C A. 2. Classicazione degli stati:2;2stati assorbenti, quindi ricorrenti e aperiodici, 1;0;1stati transitori di periodo 2. Classi chiuse irriducibili:f2gef2g. 3. Sara a vincerà il gioco con probabilità 0.5, per simmetria, dato che il gioco ha una durata nita q.c. 4. La leggev( n) è corretta pern= 0;1, dato che: X0= 0 per cuiv(0) = 0 0 1 0 0
v(1) = 0 0 1 0 0
0 B B B B @1 0 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 0 11 C C C C A= 0 1=2 0 1=2 0
. Mostriamo quindi che la legge è corretta per i successivin. Sen2è pari, quindin= 2k,k1, abbiamo v(2 k) =v(2 k1) P= 2( k1) 12 k12 k 012 k2 ( k1) 12 k0 B B B B @1 0 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 0 11 C C C C A = 2k 12 k +1012 k 02 k 12 k +1 Sen3è dispari, quindin= 2k+ 1,k1, abbiamo v(2 k+1) =v(2 k) P= 2k 12 k +1012 k 02 k 12 k +10 B B B B @1 0 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 1=2 0 1=2 0 0 0 0 11 C C C C A = 2k 12 k +112 k +1012 k +12 k 12 k +1 5.P(jX 4j 6 = 2) =P(X 4= 0) =12 2 = 0 :25. 6. 'Xn( u) =Eh expn iu X noi =8 > < > :12 k+ 112 k cos(2u);sen= 2k; 12 kcos( u) + 112 k cos(2u);sen= 2k+ 1: 7.X n! v( 1) = 1=2 0 0 0 1=2
in legge, ovvero' Xn( u)!cos(2u). 6