Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - AA 2018/2019 IV Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 14 gennaio 2020 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome, Matricola: Esercizio 1.Ogni mattina Adrik e Baern escono a cercare funghi e, tornati a casa, consegnano a Darrak il frutto della loro ricerca. Ciascuno dei due torna a casa non appena trova due funghi, o comunque dopo 20 minuti di ricerca. Il risultato è che ogni giorno il numero di funghiXconsegnati a Darrak da Adrik ed il numero di fungiYconsegnati a Darrak da Baern sono casuali, compresi fra 0, 1 e 2. Indichiamo conWeZla minima e la massima consegna giornaliera fra quelle di Adrik e Baern. 1. ScrivereWeZin funzione diXedY. Sappiamo cheXedYsono entrambi uniformemente distribuiti fra 0, 1 e 2, ma non conosciamo la loro distribuzione congiunta. Supponiamo inizialmente che la distribuzione congiunta diXedYsia data da201/61/6 11/601/6 01/61/60 Y nX012 2. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern sono indipendenti? 3. CalcolareCov(X; Y), la covarianza fraXedY. 4. Trovare la distribuzione congiunta e le distribuzioni marginali diWeZ. Scopriamo invece ora che la distribuzione diZè data daZ012 3/122/127/12 5. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern sono indipendenti? 6. Trovare la distribuzione diW. 1 Risultati. 1.W= minfX; Yg, Z= maxfX; Yg. 2. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern NON sono indipendenti: 0 =P(X=Y= 1)6 =P(X= 1)P(Y= 1) =19 : 3.Cov(X; Y) =E[X Y]E[X]E[Y] = 216 + 2 16 + 4 16 1 =13 . 4. La distribuzione congiunta e le distribuzioni marginali diWeZsono date dap W1/21/31/6 21/31/61/2 11/31/3 01/61/6 Z nW012p Z5. I numeri di funghi consegnati giornalmente da Adrik e Baern NON sono indipendenti: 312 = P(Z= 0) =P(X=Y= 0)6 =P(X= 9)P(Y= 0) =19 : 6. La distribuzione diWè data da P(W= 0) =P (X= 0)[(Y= 0) =P(X= 0) +P(Y= 0)P X= 0; Y= 0 =P(X= 0) +P(Y= 0)P Z= 0 =512 ; P(W= 2) =P(X=Y= 2) =P(X= 2) +P(Y= 2)P Z= 2 =112 : P(W= 1) = 1P(W= 0)P(W= 2) =12 : In alternativa si può dimostrare che, date due variabili aleatorieXedY, postoW= minfX; Yge Z= maxfX; Yg, allora per ognikvale P(W=k) =P(X=k) +P(Y=k)P Z=k : 2 Esercizio 2. Ricordiamo innanzitutto che, per ogni >0e >0, una variabile aleatoriaZdi legge Beta(,) è una variabile aleatoria reale continua di densità e valore atteso f(z) =( +)( ) ()z  1 1z 1 I(0;1)( z);E[Z] = +; doveindica la funzione Gamma di Eulero. Sino oraXedYdue variabili aleatorie reali congiuntamente continue di densità congiunta f(X;Y)( s; t) = 120s t(1st)I D( s; t); D=n (x; y)2R2 :0< x