Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 27 Luglio 2016 c ⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; ::; X nun campione casuale di legge Bernoulli di parametro p2(0;1) di dimensionen3. Si denisca il parametro=p2 e si risolvano i seguenti punti: (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianzab pere se ne calcoli la distorsione. (b) Si stabilisca la consistenza, l'asintotica normalita e si dimostri l'asintotica efficienza dib . (c) Si costruisca un intervallo di condenza perasintoticamente di livello 12(0;1). (d) Si costruisca una regione critica asintoticamente di livello2(0;1) per il test d'ipotesi H0: = 0vs H 1: ̸ = 0: (e) Si consideri lo stimatoree =X 1X 2. Se ne calcoli la legge. A partire da e si costruisca l'UMVUE per . 1 Esercizio 2:SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia legge f(x;) =2 x 21 (0;)( x); di parametro >0. (a) Si trovi una statisticaTsufficiente e minimale per. (b) Si calcoli lo stimatore dei momentiper. (c) Si calcoli l'errore quadratico medio di. (d) Si consideri ora noto il valore del parametro= 0e si ssi n= 1. Si costruisca il test UMP di livello 2(0;1) per il test d'ipotesi H0: Xf(x; 0) vsH 1: XU(0;  0) : (e) Si calcoli la potenza del test costruito al punto (d) e si stabilisca se il test e non distorto. 2 Esercizio 3 Il dataset \Reddito.txt" contiene i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unita di misura, per 38 differenti citta di uno stesso paese:Age(eta media dei residenti nella citta considerata),HS(percentuale di residenti con un diploma di scuola media superiore),Col lege(percentuale di residenti laureati),Income (variabile binaria che vale 1 se il reddito mediano della citta e superiore ad una ssata soglia nazionale e 0 altrimenti). (a) Si adatti un opportuno modello per stimare la probabilita che una citta abbia un reddito mediano sopra soglia, utilizzazndo tutte le informazioni disponibili. Si commenti il modello adattato. (b) Si adatti un opportuno sottomodello piu parsimonioso per stimare la probabilita che una citta abbia un reddito mediano sopra soglia. Si confrontino i due modelli e si giustichi la scelta eseguita. (c) Si scriva esplicitamente il modello adattato. (d) Si fornisca un'interpretazione del coefficiente relativo alla variabileH S. (e) Si confrontino le previsioni che e possibile ottenere mediante tale modello con i dati reali (tabella di misclassicazione, errore di misclassicazione, sensibilita, specicita). 3