Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica12 Luglio 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Esercizio 1. SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;) =2 2e x 2  x3 I(0;+1)( x); dovee un parametro positivo incognito, >0. (a) Determinare una statisitcaTstatistica suciente, minimale e completa per. (b) Ricavare e riconoscere la legge diT. (c) Calcolare l'informazione di Fisher del modello oggetto di studio. (d) Costruire uno stimatore non distortoWperche raggiunga il limite di Cramer-Rao. (f ) Determinare la legge asintotica diWe costruire l'intervallo di condenza asintotico di livello 1per di lunghezza minima. 1 Esercizio 2 SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;) = 32 e 3 x e ex dovee un parametro positivo incognito, >0 (a) Determinare una statisticaTsuciente, minimale e completa per. (b) Stabilire seTha rapporto di Likelihood monotono. (c) Costruire un test UMP di livelloperH 0:  0vs H 1:  >  0. (d) Costruire una quantita pivotQper. (e) Costruire un intervallo di condenza di livello 1basato suQ. 2 Esercizio 3 Il dottor Paganini vuole lanciare una campagna di prevenzione della brillazione atriale incentivando i giovani a praticare sport. Al ne di rendere piu ecace questa iniziativa decide di eseguire un analisi preliminare sull'incidenza della brillazione atriale in una coorte di uomini che praticano sport a vari livelli. Le variabili che il dottor Paganini prende in considerazione per lo studio sono le seguenti: laf: variabile binaria (1 se e diagnosticata la brillazione atriale, 0 altrimenti); age: eta del soggetto [anni]; smokers: variabile binaria (1 se fumatore, 0 altrimenti); hypertension: variabile binaria (1 se sore di ipertensione,0 altrimenti); lftimepractice : tempo dedicato allo sport durante la settimana [ore]. Per aiutare il dottor Paganini, si risponda ai seguenti punti. (a) Si esplori gracamente la relazione fraetaelaf. Si adatti un opportuno modello per stimare la probabilita che un uomo sora di brillazione atriale, utilizzando tutte le informazioni disponibili (considerando l'eta standardizzata). Si commenti il modello adattato. (b) Se ritenuto opportuno, proporre un modello ridotto e/o con trasformazione (considerando sempre l'eta standardizzata). Si confrontino i due modelli e si giustichi la scelta eseguita. (c) Si scriva esplicitamente il modello adattato scelto fra i due proposti. (d) Si fornisca un' interpretazione dell'odds ratio relativo ad un incremento di attivita sica settimanalepari a 2 ore. (e) Si confrontino le previsioni che e possibile ottenere mediante tale modello con i dati reali (tabella dimisclassicazione, errore di misclassicazione, sensibilita, specicita). 3