Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica27 Giugno 2018 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sara perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: SiaX 1; ::; X nun campione casuale d'ampiezza n1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f(x; ; ) =e (x ) 1( ;+1)( x); dovee sono due parametri reali positivi. (a) Si troviWstatistica suciente e minimale per (; ). (b) Si trovino gli stimatori massima verosimiglianza per (; ). Si supponga ora chesia noto e pari a 0. (c) Si trovi l'UMVUE per . (d) Si costruisca una quantita pivotaleQper . (e) Si costruisca l'intervallo di condenza per , basato su Q, di livello 1e di lunghezza minima. 1 Esercizio 2: I gestori di Trennolandia hanno appena inaugurato un gioco in cui i bambini possono camminare e saltare su una rete sospesa. Due genitori, Anna e Marco, esperti di statistica, si chiedono quale sia il pesoXche sta sostenendo la rete. Marco ipotizza cheXsegua la distribuzionef , mentre Anna sostiene la densita g , dove: f( x) =12 px 1 [0;]( x); g ( x) =12 p (x)1 [0;]( x); dove >0 indica la quantita massima di sicurezza consentita. Per decidere che modello utilizzare, Anna e Marco assumono= 1 e decidono di eettuare il test d'ipotesi H0: Xf 1( x)vs H 1: Xg 1( x):(1) (a) Trovare il test UMP per (1) di livello2(0;1). (b) Calcolare la potenza e stabilire se il test e non distorto.(c) Stabilire quale decisione prendere osservando il valorex= 0:94 con= 0:05. A questo punto, una volta chiamatah la famiglia selezionata al punto (c), Anna e Marco vogliono fare inferenza sul parametro, ed in particolare eettuare il seguente test d'ipotesi: H0: 1vs H 1:  >1:(2) (d) Costruire un test di livello2(0;1) basato sul rapporto di verosimiglianza per (2). 2 Esercizio 3 I metodi di comunicazione nel regno animale sono oggetto di grande interesse nel campo della teleco- municazione. E risaputo che i delni hanno sviluppato un ranato sistema di comunicazione fra pari e l'oceanografo Gervasini ha incentrato la sua attivita di ricerca su questo tema. In particolare, ha raccolto per il suo studio dati relativi a 100 delni, registrando le seguenti variabili: frequenza del suono emesso (freq); lunghezza del delno (lengthinmetri); genere del delno (sex: 0 femmine e 1 maschi); eta del delno (ageinanni). Rispondete quindi alle seguenti domande che l' oceanografo ha posto al suo team di statistici dopo aver caricato il ledelfini.txt. (a) Eseguire un'analisi esplorativa dei dati. (b) Impostare e adattare ai dati un modello di regressione lineare per spiegare la frequenza dei suoni emessidai delni. (c) Vericare le ipotesi del modello. (d) Valutare una trasformazione/riduzione del modello e vericare le ipotesi del nuovo modello.(e) Costruire un intervallo di condenza di livello 0:95 per la media della frequenza del suono emesso da un delno femmina, di 170 cm e con 14 anni. (Sia in modo automatico che manuale). (f ) Eseguire un test dipotesi relativo alla lunghezza del delno per vericare che il coecienteassociato sia maggiore di 0:4. (Specicare ipotesi nulla, alternativa, regione critica, statistica test e p-value). 3