Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano Facolt`a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 25 Settembre 2012 Nome e cognome:Numero di matricola: Esercizio 1. SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione di densit`a f(x;) = 2 2( 1x 2) 2 1 I(0;2)( x); dove`e un parametro positivo incognito,0. (a) Dimostrare chef(x;) appartiene alla famiglia esponenziale. (b) Stabilire seT=∑ n i=1log(1 X i= 2) `e una statistica sufficiente minimale e completa. (c) Trovareˆ nstimatore ML per . (d) TrovareW nstimatore ML per () =1 2 . (e) Riconoscere la legge diY=log(1X i= 2) e stabilire seW n`e UMVUE per () =1 2 . (f ) Stabilire seW n`e consistente per (). 1 Esercizio 2 SiaX 1; : : : ; X nun campione casuale da una distribuzione con densit`a f(x;) = (+ 1)x I(0;1)( x) dove`e un parametro positivo incognito,0 (a) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezzan= 1, un test UMP di livelloperH 0: = 0 vs H1: = 1, con  1> 0. (b) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezzan= 1, un test UMP di livelloperH 0: = 0 vs H1:  >0. (c) Si determini la funzione potenza() per il test costruito al punto (b), e se ne calcoli il limite per ! 1. (d) Si dimostri che il test costruito al punto (b) `e non distorto. (e) Si mostri che la densit`af(x;) appartiene alla famiglia esponenziale. (f ) Si determini una statistica sufficiente, minimale e completaTper. 2 Esercizio 3 Il dataset “USA.txt” contiene anche i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unit`a di misura, per i 50 Stati Americani:LifeExp(aspettativa di vita di ciascuno stato) ePosition(variabile categorica, che assegna ogni stato ad un’area geografica: W - west, MW - MidWest, NE - NorthEast, S - South). Si vuole effettuare un’indagine per comprendere se l’area geografica influisce sull’aspettativa di vita. Si eseguano le seguenti analisi, a partire dal dataset proposto, commentando opportunamente tutti i passaggi:(a) Indagine esplorativa dei dati mediante boxplot affiancati (riportare un disegno qualitativo). (b) Fitting del modello lineare. Che tipo di matrice disegno `e stata usata? Cosa confronta? (c) Ricostruire a partire dalle stime del modello lineare l’aspettativa di vita media in ognuno dei 4 gruppi di stati. Ci si poteva aspettare i risultati evidenziati dai test sui coefficienti del modello osservando i boxplot iniziali? Perch´e? (d) Verifica delle ipotesi per il modello scelto. Cosa si pu`o concludere? 3