Mathematical Engineering - Probabilità

Full exam

Si esprima il Coe±ciente di Variazione (CV) diXin funzione di¸. (b) Si trovi lo stimatoreT ndi massima verosimiglianza per CV. (c) Si stabilisca la legge asintotica diT n. (d) Si veri¯chi cheT nµe asintoticamente e±ciente. (e) Si costruisca un Intervallo di Con¯denza asintotico di livello 1¡®perC V. (f ) Si dimostri cheT nµe consistente per CV. 1 dovekµe un parametro positivonotoeµµe un parametro positivo incognito,µ >0 (a) Si dimostri cheW=P n i=1eX i µe una statistica su±ciente, minimale e completa perµ. (b) Si calcoli la legge di eX . (c) Si calcoli e si riconosca la legge diW. (d) Si costruisca un test UMP di livello®perH 0:µ·µ 0vsH 1:µ > µ 0. (e) Si costruisca una quantitµa pivotale perµbasandosi suW, e si ricavi un Intervallo di Con¯denza di livello 1¡®perµ. 2 Si vuole svolgere un'indagine statistica al ¯ne di valutare quanto e come le covariate precedentemente descritte abbiano in°uito sulla probabilitµa di sopravvivenza dei passeggeri del Titanic. Si esegua l'analisi dei dati evidenziando i seguenti passaggi: (a) Analisi descrittiva preliminare: si esamini la tabella di contingenza della sopravvivenza rispetto al sesso e si commenti il risultato; si esegua inoltre il boxplot dell'etµa rispetto alla sopravvivenza e si commenti il risultato. (b) Si adatti un modello di regressione logistica per spiegare la sopravvivenza dei passeggeri in funzione di tutte le covariate a disposizione e si commenti l'output di regressione: i segni dei coe±cienti sono coerenti con quanto era ragionevole aspettarsi? (c) Si adatti il modello di regressione logistica precedente senza utilizzare il regressore etµa e si confrontino i due modelli; (d) Si calcoli l'Odds Ratio della probabilitµa di sopravvivenza delle donne rispetto agli uomini. (e) Si calcoli la probabilitµa di sopravvivenza (con relativo intervallo di previsione) di una donna di 76 anni che viaggiava in prima, seconda e terza classe (si speci¯chi nel comandotype=``response''); (f ) (Facoltativo) Si calcoli la tabella di misclssi¯cazione relativa al modello e la corrispondente sensibilitµa. 3