Mathematical Engineering - Probabilità

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione - AA 2020/2021 I Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 16 Giugno 2020 c I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. SCRIVERE NELL' ORDINECODICE PERSONA, COGNOME, NOME E LE DATE PREFERITE PER L'ESAME ORALE SUL FOGLIO CHE CONSEGNERETE Esercizio 1.Sia(X; Y)un vettore casuale con distribuzione uniforme sul triangoloTdi vertici(2;0), (2;0)e(0;2). 1.Scrivere la densità di(X; Y). 2.Calcolare: P(0XY), P(X2 +Y2 2), P(Y=X2 ). 3.Determinare le leggi marginali delle variabiliXeY. 4.Determinare media e varianza del vettore(X; Y). 5.Le variabili casualiXeYsono scorrelate? Sono indipendenti? 1 Risultati. 1.f (X;Y)( x; y) =14 1 1 1 T, dove Tè il triangolo di vertici(2;0),(2;0)e(0;2). 2.P(0XY) =14 , P(X2 +Y2 2) =4 , P(Y=X2 ) = 0. 3.X2[2;2]q.c. Sex2[2;0]alloraf X( x) =14 R 2+x 0d y=12 +x4 . Se x2[0;2]alloraf X( x) = 14 R 2x 0d y=12 x4 , i.e. fX( x) = 12 j xj4  11 1 [2;2]( x): Y2[0;2]q.c. e fY( y) = 1y2  11 1 [0;2]( y): 4.E[X] =Z Rxf X( x) dx= 0: Var(X) =E[X2 ] =Z Rx 2 fX( x) dx=23 : E[Y] =Z Ryf Y( y) dy=23 : E[Y2 ] =Z Ry 2 fY( y) dy=23 : Var(Y) =E[Y2 ]E[Y]2 =29 : InneCov(X; Y) =E[X Y] = 0: Abbiamo quindiE X Y = 0 23  ;Var X Y = 23 0 029  : 5.Le variabili casualiXeYsono incorrelate. Tuttavia non sono indipendenti: basta infatti osservare che il supporto della densità congiunta è il triangoloTche è diverso dal prodotto dei supporti delle densità marginali dato dal rettangolo [2;2][0;2]. 2 Esercizio 2. Neville gioca con un dado a sei facce: lancia il dado ripetutamente e "punta" sul6. Siano Xn=( 1;se esce 6 al lancion; 0;altrimenti;n 1; T1= n del lancio al quale si osserva il primo6; T2= n del lancio al quale si osserva il secondo6: 1.ScrivereT 1in funzione delle variabili X ne determinare la legge di T 1. 2.Calcolare la probabilità di osservare il primo6al terzo lancio e il secondo6al decimo lancio. 3.Determinare la legge congiunta diT 1e T 2. 4.Determinare la legge diT 2condizionata a T 1= k, per ognik1. 5.Calcolare l'attesa condizionataE[T 2j T 1] . 6.Trovare il numero atteso di lanci che Neville dovrà fare per osservare il secondo 6. Si dia pure perscontato che tale numero atteso esiste nito. 3 Risultati. 1.T 1= min fn1 :X n= 1 g. Allora, essendo leX ni.i.d. bernoulliane, con probabilità di successo 1=6, sappiamo cheT 1 G(16 ) , ovvero cheT 1è una variabile aleatoria reale discreta con densità pT1( k) =16  56  k1 ; k= 1;2; : : : 2.Si deve calcolareP(T 1= 3 ; T 2= 10) = P X1= 0 ; X 2= 0 ; X 3= 1 ; X 4= 0 ; : : : ; X 9= 0 ; X 10= 1 =5 86 10: 3.T 1e T 2sono congiuntamente discrete, dato che sono entrambe discrete. Entrambe possono assumere solo valori naturali e chiaramente vale0< T 1< T 2. La densità discreta congiunta su NNvale p(T 1;T 2)( k; `) =8 < :5 ` 26 `; se0< k < `; 0;sek`: 4.T 2condizionatamente all'evento (T 1= k),k1, ha legge discreta di densità pT2j T 1( `jk) = 56  `k1 16 ; ` k+ 1: 5.Per ognik1abbiamo E[T 2j T 1= k] =1 X `=k+1` 56  `k1 16 =1 X j=1( j+k) 56  j1 16 = 6 + k; per cuiE[T 2j T 1] = 6 + T 1: 6.E[T 2] = Eh E[T 2j T 1]i = 6 +E[T 1] = 12 . 4 Esercizio 3. Robin partecipa a una gara di tiro con l'arco dove il punteggio di ogni tiro varia fra 0 (bersaglio mancato) e 30 (bersaglio colpito esattamente sul bordo). Robin non è un arciere molto esperto e il punteggioXdi un suo tiro è casuale con funzione di ripartizione FX( x) =8 > > < > > :0 ; x